Question

（1）已知：如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD的各邊上與頂點均不重合的點，且AE＝CF＝CG＝AH．

求證：四邊形EFGH是矩形．

 

（2）已知： E、F、G、H分別是菱形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上與頂點均不重合的點，且四邊形EFGH是矩形．AE與AH相等嗎？如果相等，請說明理由；如果不相等，請舉反例進行說明．

 

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴  AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°．

∵ AE＝CF＝CG＝AH，

∴ BE＝BF＝DG＝DH．

∴ △AEH≌△CFG，△BEF≌△DHG．

∴ EH＝FG，EF＝HG．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵∠AEH＝∠AHE＝（180°－∠A）＝90°－∠A，

∠BEF＝∠BFE＝（180°－∠B）＝90°－∠B，

∴∠HEF＝180°－∠AEH－∠BEF

＝180°－（90°－∠A）－（90°－∠B）

＝（∠A＋∠B）

    ＝90°．

∴四邊形EFGH是矩形．

（2）如圖，m、n是經(jīng)過菱形對角線交點且與對邊垂直的2條直線，可證四邊形EFGH是矩形，顯然，AE與AH不相等．