Question

如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AE于點E.

（1）求證：∠E＝∠BCO；

（2）若⊙O的半徑為3，cosA＝，求EF的長．

 

Answer 1

（1）證明：連接BO．

∵OE∥BD，

∴∠E＝∠ABD．

∵AE與⊙O相切于點B，∴OB⊥AE．

∴∠ABD＋∠OBD＝90°．

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CBO＋∠OBD＝90°．

∴∠ABD＝∠CBO．

∵OB＝OC，

∴∠CBO＝∠BCO．

∴∠E＝∠BCO．                                                                                                 4分

（2）解：在Rt△ABO中，cosA＝＝，可設AB＝4k，AO＝5k，

BO＝＝3k．

∵⊙O的半徑為3，∴3k＝3，∴k＝1．

∴AB＝4，AO＝5．

∴AD＝AO－OD＝5－3＝2．

∵BD∥EO，

∴＝＝，∴AE＝10．

∴EB＝AE－AB＝6．

在Rt△EBO中，EO＝＝3．

∵OE∥BD，

∴∠EFB＝∠DBF＝90°．

∵∠FEB＝∠BEO，∠EFB＝∠EBO，

∴△EFB∽△EBO．

∴＝，即＝．

∴EF＝．                                                                                                  9分