【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BD=DE.
(1)若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),如圖1,求證:AD=CE.
(2)若點(diǎn)D不是AC的中點(diǎn),如圖2,試判斷AD與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論:(提示:過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC,交AB于點(diǎn)F.)
(3)若點(diǎn)D在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,(2)中的結(jié)論是否仍成立?如果成立,給予證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC,
∵D為AC中點(diǎn),
∴∠DBC=30°,AD=DC,
∵BD=DE,
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=30°=∠E,
∴CD=CE,
∵AD=DC,
∴AD=CE;
(2)證明:成立,
如圖2,過(guò)D作DF∥BC,交AB于F,
則∠ADF=∠ACB=60°,
∵∠A=60°,
∴△AFD是等邊三角形,
∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,
∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°,
∵DF∥BC,
∴∠FDB=∠DBE=∠E,
在△BFD和△DCE中
∴△BFD≌△DCE,
∴CE=DF=AD,
即AD=CE.
(3)證明:(2)中的結(jié)論仍成立,
如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DP∥BC,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,
∵△ABC是等邊三角形,
∴△APD也是等邊三角形,
∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°,
∵DB=DE,
∴∠DBC=∠DEC,
∵DP∥BC,
∴∠PDB=∠CBD,
∴∠PDB=∠DEC,
在△BPD和△DCE中,
∴△BPD≌△DCE,
∴PD=CE,
∴AD=CE.
【解析】(1)求出∠E=∠CDE,推出CD=CE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AD=DC,即可得出答案;(2)過(guò)D作DF∥BC,交AB于F,證△BFD≌△DCE,推出DF=CE,證△ADF是等邊三角形,推出AD=DF,即可得出答案.(3)(2)中的結(jié)論仍成立,如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DP∥BC,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,證明△BPD≌△DCE,得到PD=CE,即可得到AD=CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)求證:BE=CF;
(2)如果AB=8,AC=6,求AE、BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李明到離家2.1千米的學(xué)校參加八年級(jí)聯(lián)歡會(huì),到學(xué)校時(shí)發(fā)現(xiàn)演出道具還放在家中,此時(shí)距聯(lián)歡會(huì)開(kāi)始還有42分鐘,于是他立即步行(勻速)回家,在家拿道具用了1分鐘,然后立即騎自行車(chē)(勻速)返回學(xué)校,已知李明騎自行車(chē)到學(xué)校比他從學(xué)校步行到家用時(shí)少20分鐘,且騎自行車(chē)的速度是步行速度的3倍。
(1)李明步行的速度(單位:米/分)是多少?
(2)李明能否在聯(lián)歡會(huì)開(kāi)始前趕到學(xué)校?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2這六個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),記為a,a的值即使得不等式組 無(wú)解,又在函數(shù)y= 的自變量取值范圍內(nèi)的概率為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某品牌童裝,4月的銷(xiāo)售額為20000元,為擴(kuò)大銷(xiāo)量,5月份商場(chǎng)對(duì)這種童裝打9折銷(xiāo)售,結(jié)果銷(xiāo)量增加了50件,銷(xiāo)售額增加了7000元.
(1)求該童裝4月份的銷(xiāo)售單價(jià);
(2)若4月份銷(xiāo)售這種童裝獲利8000元,6月全月商場(chǎng)進(jìn)行“六一兒童節(jié)”促銷(xiāo)活動(dòng).童裝在4月售價(jià)的基礎(chǔ)上一律打8折銷(xiāo)售,若該童裝的成本不變,則銷(xiāo)量至少為多少件,才能保證6月的利潤(rùn)比4月的利潤(rùn)至少增長(zhǎng)25%?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,以CD為邊作等邊三角形CDE,BE與AC相交于點(diǎn)M,則∠AMD的度數(shù)是( )
A.75°
B.60°
C.54°
D.67.5°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校實(shí)施課程改革,為初三學(xué)生設(shè)置了A,B,C,D,E,F(xiàn)共六門(mén)不同的拓展性課程,現(xiàn)隨機(jī)抽取若干學(xué)生進(jìn)行了“我最想選的一門(mén)課”調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖統(tǒng)計(jì)圖表(不完整)
選修課 | A | B | C | D | E | F |
人數(shù) | 20 | 30 |
根據(jù)圖標(biāo)提供的信息,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為200人 B. 扇形統(tǒng)計(jì)圖中E部分扇形的圓心角為72°
C. 被調(diào)查的學(xué)生中最想選F的人數(shù)為35人 D. 被調(diào)查的學(xué)生中最想選D的有55人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列語(yǔ)句:①有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;②一般三角形具有的性質(zhì),直角三角形都具有;③有兩邊相等的兩直角三角形全等;④兩直角三角形的斜邊為5cm,一條直角邊都為3cm,則這兩個(gè)直角三角形必全等.其中正確的有________個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1=0.
(1)求證:此一元二次方程恒有實(shí)數(shù)根.
(2)無(wú)論k為何值,該方程有一根為定值,請(qǐng)求出此方程的定值根.
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