Question

13．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線(xiàn)DN交射線(xiàn)AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交直線(xiàn)DN于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖①，
①判斷∠1與∠2的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線(xiàn)AB于點(diǎn)M，求證：CF+BE=CD；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖②；
當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠NDB為鈍角時(shí)，如圖③；
請(qǐng)分別寫(xiě)出線(xiàn)段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
（3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S_△ABC=4$\sqrt{3}$，直接寫(xiě)出BE和CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)∠ABC=∠ACB=60°，根據(jù)已知條件得到∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②通過(guò)△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因?yàn)橥ㄟ^(guò)證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD；
（2）作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過(guò)證得△MEF≌△CDA即可求得，
（3）根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，同時(shí)代的BD=2AB=8，求得 BE=8，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∠1=∠2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠ADN=60°，
∴∠1+∠ADC=120°，∠ADC+∠2=120°，
∴∠1=∠2；
②證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)F作FM∥BC交射線(xiàn)AB于點(diǎn)M，
∵CF∥AB，
∴四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFE=∠DAC}\\{∠EMF=∠ACB}\\{MF=AC}\end{array}\right.$，
∴△MEF≌△CDA（AAS），
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF；

（2）如圖②，由（1）證得四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
由（1）證得△MEF≌△CDA（AAS），
∴CD=ME=EB-BM，
∴CF+CD=BE，
如圖③，同理CF-CD=BE；

（3）∵△ABC是等邊三角形，S_△ABC=4$\sqrt{3}$，
∴易得AB=BC=AC=4，
如圖②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由（2）知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8．

如圖③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
綜上，BE=8，CD=4或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．