【題目】已知,點(diǎn)P是等邊三角形△ABC中一點(diǎn),線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,連接PQ、QC.

(1)求證:PB=QC;

(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的長度.

【答案】(1)證明見解析;(2)5.

【解析】

(1)直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AQ,∠PAQ=60°,然后根據(jù)“SAS”證明BAP≌△CAQ,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出答案;

(2)APQ是等邊三角形可得AP=PQ=3,∠AQP=60°,由全等的性質(zhì)可得∠AQC =∠APB=150°,從而可求PQC=90°,然后根據(jù)勾股定理求PC的長即可.

直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案.

(1)證明:∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°AQ,

AP=AQ,PAQ=60°,

∴△APQ是等邊三角形,∠PAC+CAQ=60°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠BAP+PAC=60°,AB=AC,

∴∠BAP=CAQ,

BAPCAQ

,

∴△BAP≌△CAQ(SAS),

PB=QC;

(2)解:∵由(1)得APQ是等邊三角形,

AP=PQ=3,AQP=60°,

∵∠APB=150°,

∴∠PQC=150°﹣60°=90°,

PB=QC,

QC=4,

∴△PQC是直角三角形,

PC===5.

練習(xí)冊系列答案
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2)最短直角邊與的夾角

①現(xiàn)把三角板如圖2擺放,且點(diǎn)恰好落在邊上時(shí),求、的度數(shù)(寫出求解過程,結(jié)果用含的代數(shù)式表示);

②現(xiàn)把圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動,當(dāng)時(shí),存在三角板某一邊所在的直線與直尺(有四條邊)某一邊所在的直線垂直.例如:當(dāng)時(shí),,;直接寫出其他所有的值和對應(yīng)的那兩條垂線.

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(1)用樹狀圖或列表法求出小王去參加的概率;

(2)小李說:可以,這種規(guī)則公平,你認(rèn)同他的說法嗎?請說明理由.

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【題目】如圖,在ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,ADBC,BD=2,延長ADE,使AE=2AD,連接BE

1)求證:ABE為等邊三角形;

2)將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置,其中點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,且∠NEM=60°,邊NEAB交于點(diǎn)G,邊MEAC交于點(diǎn)F.求證:BG=AF;

3)在(2)的條件下,求四邊形AGEF的面積.

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【題目】學(xué)期末,某班評選一名優(yōu)秀學(xué)生干部,下表是班長、學(xué)習(xí)委員和團(tuán)支部書記的得分情況:

假設(shè)在評選優(yōu)秀干部時(shí),思想表現(xiàn)、學(xué)習(xí)成績、工作能力這三方面的重要比為3 3 4 ,通過計(jì)算說明誰應(yīng)當(dāng)選為優(yōu)秀學(xué)生干部。

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