【題目】數(shù)和形是數(shù)學的兩個主要研究對象,我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學問題.下面我們來探究由數(shù)思形,以形助數(shù)的方法在解決代數(shù)問題中的應用.

探究一:求不等式|x1|2的解集

1)探究|x1|的幾何意義

如圖①,在以O為原點的數(shù)軸上,設點A對應的數(shù)是x1,有絕對值的定義可知,點A與點O的距離為

|x1|,可記為AO=|x1|.將線段AO向右平移1個單位得到線段AB,此時點A對應的數(shù)是x,點B對應的數(shù)是1.因為AB=AO,所以AB=|x1|,因此,|x1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對應的點A1所對應的點B之間的距離AB

2)求方程|x1|=2的解

因為數(shù)軸上3和﹣1所對應的點與1所對應的點之間的距離都為2,所以方程的解為3,﹣1

3)求不等式|x1|2的解集

因為|x1|表示數(shù)軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離,所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點對應的數(shù)x的范圍.請寫出這個解集:_________________________________

探究二:探究的幾何意義

1)探究的幾何意義

如圖③,在直角坐標系中,設點M的坐標為(x,y),過MMPx軸于P,作MQy軸于Q,則P點坐標為(x,0),Q點坐標為(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在RtOPM中,PM=OQ=|y|,則,因此,的幾何意義可以理解為點Mx,y)與點O00)之間的距離MO

2)探究的幾何意義

如圖④,在直角坐標系中,設點A的坐標為(x1,y5),由探究二(1)可知,,將線段AO先向右平移1個單位,再向上平移5個單位,得到線段AB,此時點A的坐標為(x,y),點B的坐標為(15),因為AB=AO,所以,因此的幾何意義可以理解為點Ax,y)與點B15)之間的距離AB

3)探究的幾何意義,根據(jù)探究二(2)所得的結(jié)論,請寫出的幾何意義可以理解為:________________

4的幾何意義可以理解為:________________________________

【答案】探究一(3;探究二(3)點Ax,y)與點B-3,4)之間的距離AB;(4)點Ax,y)與點Bab)之間的距離.

【解析】

探究一(3)由于|x1|表示數(shù)軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離,所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點對應的數(shù)x的范圍,從而畫出數(shù)軸即可;

探究二(3)由于的幾何意義可以理解為點Axy)與點B1,5)之間的距離AB,所以可以得到的幾何意義是:點Ax,y)與點B-3,4)之間的距離AB;

4)由前面的探究可知的幾何意義可以理解為:點Ax,y)與點Ba,b)之間的距離.

解:探究一:(3)如圖所示,

的解集是;

探究二:(3)如圖,

在直角坐標系中,設點A的坐標為(x+3,y4),

由探究二(1)可知,,

將線段AO先向左平移3個單位,再向上平移4個單位,得到線段AB,

此時點A的坐標為(xy),點B的坐標為(-3,4),

AB=AO,

,.

的幾何意義是:點Ax,y)與點B-3,4)之間的距離AB;

(4)根據(jù)前面的探究可知的幾何意義可以理解為:點Axy)與點Ba,b)之間的距離.

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閱讀時間分鐘

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

30≤t40

10

5%

40≤t50

40

m

50≤t60

a

40%

60≤t70

b

n

70≤t80

20

10%

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