Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列4個(gè)結(jié)論正確的有

 

個(gè)    
 ①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④對(duì)于任意x均有ax²+bx≥a+b．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口向上得a＞0，由拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸下方得c＜0，則ac＜0；由于拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，則-

b

2a

=1，即2a+b=0；由于當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值小于0，所以4a+2b+c＜0；由于當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值a+b+c，所以對(duì)于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，即ax²+bx≥a+b．

解答：解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-

b

2a

=1，即2a+b=0，所以②正確；
∵當(dāng)x=2時(shí)，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③錯(cuò)誤；
∵當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值a+b+c，
∴對(duì)于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，即ax²+bx≥a+b，所以④正確．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．