【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,邊在射線上,且,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)D不與點(diǎn)A重合時(shí),將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到,連接DE.

(1)如圖1,求證:是等邊三角形;

(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時(shí),DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)D在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以D,E,B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2)存在,2+4;(3)當(dāng)t=2或14s時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

【解析】

試題

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合△ABC是等邊三角形可得∠DCB=60°,CD=CE,從而可得△CDE是等邊三角形;

(2)由(1)可知△CDE是等邊三角形,由此可得DE=CD,因此當(dāng)CD⊥AB時(shí),CD最短,則DE最短,結(jié)合△ABC是等邊三角形,AC=4即可求得此時(shí)DE=CD=;

(3)由題意需分0≤t<6,6<t<10t>10三種情況討論,①當(dāng)0≤t<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,BDE<60°,由此可知此時(shí)若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°;②當(dāng)6<t<10s時(shí),由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°>90°,由此可知此時(shí)DBE不可能是直角三角形;③當(dāng)t>10s時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,結(jié)合∠CDE=60°可得∠BDE=CDE+BDC=60°+BDC>60°,由此可得∠BED<60°,由此可知此時(shí)若△BDE是直角三角形,則只能是∠BDE=90°;這樣結(jié)合已知條件即可分情況求出對(duì)應(yīng)的t的值了.

試題解析:

(1)∵將ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BCE,

∴∠DCE=60°,DC=EC,

∴△CDE是等邊三角形;

(2)存在,當(dāng)6<t<10時(shí),

由(1)知,CDE是等邊三角形,

DE=CD,

由垂線段最短可知,當(dāng)CD⊥AB時(shí),CD最小,

此時(shí)∠ADC=90°,∵∠ACD=60°,

∴∠ACD=30°,

∴ AD=AC=2,

∴ CD=,

∴ DE=2(cm);

(3)存在,理由如下:

①當(dāng)0s≤t<6s時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,BDE<60°,

此時(shí)若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°,

由(1)可知,CDE是等邊三角形,

∴∠DEC=60°,

∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°,

∴∠CDA=CEB=30°,

∵∠CAB=60°,

∴∠ACD=ADC=30°,

DA=CA=4,

OD=OA﹣DA=6﹣4=2,

t=2÷1=2(s);

②當(dāng)6s<t<10s時(shí),由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°>90°,

∴此時(shí)△DBE不可能是直角三角形;

③當(dāng)t>10s時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,

又由(1)知∠CDE=60°,

∴∠BDE=CDE+BDC=60°+BDC,

而∠BDC>0°,

∴∠BDE>60°,

∴只能∠BDE=90°,

從而∠BCD=30°,

BD=BC=4,

OD=14cm,

t=14÷1=14(s);

綜上所述:當(dāng)t=2s14s時(shí),以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

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3)該賓館每間房每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同.

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