【題目】如圖,已知等腰△ABC,∠BAC=120°,AD⊥BC于D點,點P為BA延長線上一點,點O是線段AD上一點,若AC=AO+AP.
(1)求證:∠APO=∠OCA;
(2)求證:△OCP是等邊三角形.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)在AC上截取AE=AP,連接PE,證出△APE是等邊三角形,得出∠PEA=∠APE=∠PAE =60°,PE=AP=AE,證出AO=EC,證明△OPA≌△CPE,得出∠APO=∠EPC,OP=CP,證明△OCP是等邊三角形,得出∠OCP=60°,即∠OCA+∠PCE=60°,證出∠OCA=∠EPC,即可得出結(jié)論;
(2)由(1)得出△OPA≌△CPE,得出∠APO=∠EPC,OP=CP,證出∠OPC=60°,即可得出△OCP是等邊三角形.
(1)證明:在AC上截取AE=AP,連接PE,
∵∠BAC=120°,AD⊥BC
∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°,
∴△APE是等邊三角形,
∴∠PEA=∠APE=∠PAE=60°,PE=AP=AE,
∴∠PEC=120°, ,
∵AC=AO+AP,AC=AE+EC,
∴AO=EC,
在△OPA和△CPE中, ,
∴△OPA≌△CPE(SAS),
∴∠APO=∠EPC,OP=CP,
∴∠OPC=∠OPE+∠EPC=∠OPE+∠APO=∠APE=60°,
∴△OCP是等邊三角形,
∴∠OCP=60°,即∠OCA+∠PCE=60°,
∵∠EPC+∠PCE=∠AEP=60°,
∴∠OCA=∠EPC,
∴∠APO=∠OCA;
(2)證明:由(1)得:△OPA≌△CPE(SAS),
∴∠APO=∠EPC,OP=CP,
∴∠OPC=∠OPE+∠EPC=∠OPE+∠APO=∠APE=60°,
∴△OCP是等邊三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為BC的中點,DE⊥AB,垂足為E,過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F,連接CF.
(1)求證:CD=BF;
(2)求證:AD⊥CF;
(3)連接AF,試判斷△ACF的形狀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在寬20米,長32米的矩形耕地上,修筑同樣寬的三條路(兩條縱向,一條橫向,并且橫向與縱向互相垂直),把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗田,要使試驗田的面積是570平方米,問道路應(yīng)該多寬?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D在BC上,BD=6,CD=2,點P′是AB上的動點,則PC+PD的最小值是( 。
A.7B.8C.9D.10
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【題目】觀察下列各組數(shù):(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),…,由此可發(fā)現(xiàn):,,,…,請寫出第6個數(shù)組:__.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,梯形ABCD與梯形A′B′C′D′相似,AD∥BC,A′D′∥B′C′,∠A=∠A′.AD=4,A′D′=6,AB=6,B′C′=12.求:
(1)梯形ABCD與梯形A′B′C′D′的相似比k;
(2)A′B′和BC的長;
(3)D′C′∶DC.
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【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)絡(luò)中(我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點),△ABC的三個頂點分別在網(wǎng)格的格點上
(1)請你在所給的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系,使△ABC的頂點A的坐標為(-3,5);
(2)在(1)的坐標系中,直接寫出△ABC其它兩個頂點的坐標;
(3)在(1)的坐標系中,畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1 .
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