【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn),連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE,交射線BC于點(diǎn)F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG。
(1)求證:矩形DEFG是正方形。
(2)當(dāng)點(diǎn)E從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí);
①求證:∠DCG的大小始終不變;
②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為 。
【答案】(1)詳見解析;(2)①詳見解析;②
【解析】
(1)要證明矩形DEFG為正方形,只需要證明它有一組臨邊(DE和EF)相等即可,而要證明兩條線段相等,需證明它們所在的三角形全等,如下圖本小題的關(guān)鍵是證明△EMF≌△END,∠MEF=∠NED可用等角的余角證明,EM=EN可用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,∠EMF和∠END為一組直角相等,所以可以用ASA證明它們?nèi)龋?/span>
(2)此類題,前面的問(wèn)題是給后面做鋪墊,第一問(wèn)已經(jīng)證明四邊形DEFG為正方形,結(jié)合第一問(wèn)我們很容易發(fā)現(xiàn)并證明△ADE≌△CDG,從而得到∠DCG=∠CAD=45°;
(3)當(dāng)當(dāng)E點(diǎn)在A處時(shí),點(diǎn)G在C處;當(dāng)E點(diǎn)在C處時(shí),點(diǎn)G在AD的延長(zhǎng)線上,并且AD=DG,以CD為邊作正方形,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好是正方形的對(duì)角線,它的長(zhǎng)度等于.
證明:(1)
作EM⊥BC,EN⊥CD,
∵四邊形ABCD為正方形
∴∠DCB=90°,∠ACB=∠ACD=45°
又∵EM⊥BC,EN⊥CD,
∴EM=EN(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等),
∠MEN=90°,
∴∠MEF+∠NEF=90°,
∵四邊形DEFG為矩形,
∴∠DEF=90°,
∴∠NED+∠NEF=90°,
∴∠MEF=∠NED,
在△EMF和△END中
∵
∴△EMF≌△END,
∴DE=DF,
∴矩形DEFG為正方形;
(2)①證明:∵正方形ABCD、DEFG
∴AD=CD,ED=GD
∵∠ADE+∠DEC=90°,∠CDG+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG
在△ADE和△CDG中,
∵AD=CD,∠ADE=∠CDG,ED=GD
∴△ADE≌△CDG
∴∠DCG=∠EAD=45°
∴∠DCG的大小始終保持不變
②
以CD為邊作正方形DCPQ,連接QC
∴∠DCQ=45°,
又∵∠DCG=45°
∴C、G、Q在同一條直線上,
當(dāng)E點(diǎn)在A處時(shí),點(diǎn)G在C處;當(dāng)E點(diǎn)在C處時(shí),點(diǎn)G在Q處,
∴G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為QC,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2
所以QC= ,
即點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC上,且不與點(diǎn)A,C重合,過(guò)點(diǎn)P分別作邊AB,AD的平行線,交兩組對(duì)邊于點(diǎn)E,F(xiàn)和點(diǎn)G,H.
(1)求證:△PHC≌△CFP;
(2)證明四邊形 PEDH和四邊形 PGBF都是矩形,并直接寫出它們面積之間的關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探索與發(fā)現(xiàn)
(1)正方形ABCD中有菱形PEFG,當(dāng)它們的對(duì)角線重合,且點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)(如圖1),通過(guò)觀察或測(cè)量,猜想線段AE與CG的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)當(dāng)(1)中的菱形PEFG沿著正方形ABCD的對(duì)角線平移到如圖2的位置時(shí),猜想線段AE與CG的數(shù)量關(guān)系,只寫出猜想不需證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正整數(shù)1至2019按照一定規(guī)律排成下表:
記aij表示第i行第j個(gè)數(shù),如a14=4表示第1行第4個(gè)數(shù)是4.
(1)直接寫出a35= ,a54= ;
(2)①若aij=2019,那么i= ,j= ,②用i,j表示aij= ;
(3)將表格中的5個(gè)陰影格子看成一個(gè)整體并平移,所覆蓋的5個(gè)數(shù)之和能否等于2026.若能, 求出這5個(gè)數(shù)中的最小數(shù),若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),連接AF、BE交于點(diǎn)G,連接CE、DF交于點(diǎn)H.
(1)求證:四邊形EGFH為平行四邊形;
(2)當(dāng)= 時(shí),四邊形EGFH為矩形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圖甲是一個(gè)長(zhǎng)為,寬為的長(zhǎng)方形,沿圖甲中虛線用剪刀均勻分成四小塊長(zhǎng)方形,然后按圖乙的形狀拼成一個(gè)正方形.
(1)求圖乙中陰影部分正方形的邊長(zhǎng)(用含字母,的整式表示);
(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖乙中陰影部分的面積.
(3)觀察圖乙,并結(jié)合(2)中的結(jié)論,寫出下列三個(gè)整式:,,之間的等量關(guān)系;
(4)根據(jù)(3)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:若,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】1955年,印度數(shù)學(xué)家卡普耶卡()研究了對(duì)四位自然數(shù)的一種變換:任給出四位數(shù),用的四個(gè)數(shù)字由大到小重新排列成一個(gè)四位數(shù),再減去它的反序數(shù)(即將的四個(gè)數(shù)字由小到大排列,規(guī)定反序后若左邊數(shù)字有0,則將0去掉運(yùn)算,比如0001,計(jì)算時(shí)按1計(jì)算),得出數(shù),然后繼續(xù)對(duì)重復(fù)上述變換,得數(shù),…,如此進(jìn)行下去,卡普耶卡發(fā)現(xiàn),無(wú)論是多大的四位數(shù),只要四個(gè)數(shù)字不全相同,最多進(jìn)行次上述變換,就會(huì)出現(xiàn)變換前后相同的四位數(shù),這個(gè)數(shù)稱為變換的核.則四位數(shù)9631的變換的核為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】畫圖,探究:
(1)一個(gè)正方體組合圖形的主視圖、左視圖(如圖1)所示.
①這個(gè)幾何體可能是(圖2)甲、乙中的 ;
②這個(gè)幾何體最多可由 個(gè)小正方體構(gòu)成,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出符合最多情況的一個(gè)俯視圖.
(2)如圖,已知一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D,根據(jù)要求用直尺畫圖.
①畫線段AB,射線AD;
②找一點(diǎn)M,使M點(diǎn)即在射線AD上,又在直線BC上;
③找一點(diǎn)N,使N到A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的距離和最短.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在同一平面中,兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn),三條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn),四條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)……由此猜想,當(dāng)相交直線的條數(shù)為n時(shí),最多可有的交點(diǎn)數(shù)m與直線條數(shù)n之間的關(guān)系式為:m=_____.(用含n的代數(shù)式填空)
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