Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的周長最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）連接，在直線的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），拋物線的對(duì)稱軸是；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為.理由見解析；（3）在直線的下方的拋物線上存在點(diǎn)，使面積最大.點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長最小,利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)N作NE∥y軸交AC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AD⊥NE于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，t2-t+4）（0＜t＜5），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，-t+4），進(jìn)而可得出NE的長，由三角形的面積公式結(jié)合S△CAN=S△NAE+S△NCE可得出S△CAN關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為，

∴，

∴拋物線的對(duì)稱軸是；

（2）點(diǎn)坐標(biāo)為.

理由如下：

∵點(diǎn)（0，4），拋物線的對(duì)稱軸是，

∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，4），

如圖1，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)的周長最小.

設(shè)直線的解析式為，

把（6，4），（1，0）代入得，

解得，

∴，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）在直線的下方的拋物線上存在點(diǎn)，使面積最大.

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)，

如圖2，過點(diǎn)作軸交于；作于點(diǎn)，

由點(diǎn)（0，4）和點(diǎn)（5，0）得直線的解析式為，

把代入得，則，

此時(shí)，

∵，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，

由得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.