Question

10．如圖1，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，EC切⊙O于點C，OP⊥AO交AC于點P，交EC的延長線于點D．
（1）求證：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H點，交⊙O于G點，過B點作BF∥EC，交⊙O于點F，交CG于Q點，連接AF，如圖2，若sinE=$\frac{3}{5}$，CQ=5，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線性質(zhì)和垂直性質(zhì)得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，繼而可得∠3=∠5得證；
（2）連接OC、BC，先根據(jù)切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)及垂直性質(zhì)證∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF=$\frac{3}{5}$，可知QH=3、BH=4，設圓的半徑為r，在RT在△OCH中根據(jù)勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根據(jù)三角函數(shù)可得答案．

解答 解：（1）連接OC，

∵EC切⊙O于點C，
∴OC⊥DE，
∴∠1+∠3=90°，
又∵OP⊥OA，
∴∠2+∠4=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴DP=DC，即△PCD為等腰三角形．
（2）如圖2，連接OC、BC，

∵DE與⊙O相切于點E，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠BCE=90°，
又∵CG⊥AB，
∴∠OBC+∠BCG=90°，
∴∠BCE=∠BCG，
∵BF∥DE，
∴∠BCE=∠QBC，
∴∠BCG=∠QBC，
∴QC=QB=5，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠E，
∵sinE=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠ABF=$\frac{3}{5}$，
∴QH=3、BH=4，
設⊙O的半徑為r，
∴在△OCH中，r²=8²+（r-4）²，
解得：r=10，
又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=$\frac{3}{5}$，
∴AF=12．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及三角函數(shù)的應用等知識的綜合，根據(jù)切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)及垂直性質(zhì)證∠BCG=∠QBC是解題的關(guān)鍵．