15.如圖,菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,P是AB上一點(diǎn),BP=3,Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn),將梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對應(yīng)點(diǎn)A′.當(dāng)CA′的長度最小時(shí),CQ的長為( 。
A.5B.7C.8D.$\frac{13}{2}$

分析 作CH⊥AB于H,如圖,根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷△ABC為等邊三角形,則CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$,AH=BH=4,再利用勾股定理計(jì)算出CP=7,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)A′在以P點(diǎn)為圓心,PA為半徑的弧上,利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)A′在PC上時(shí),CA′的值最小,然后證明CQ=CP即可.

解答 解:作CH⊥AB于H,如圖,
∵菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∴CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$,AH=BH=4,
∵PB=3,
∴HP=1,
在Rt△CHP中,CP=$\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}$=7,
∵梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對應(yīng)點(diǎn)A′,
∴點(diǎn)A′在以P點(diǎn)為圓心,PA為半徑的弧上,
∴當(dāng)點(diǎn)A′在PC上時(shí),CA′的值最小,
∴∠APQ=∠CPQ,
而CD∥AB,
∴∠APQ=∠CQP,
∴∠CQP=∠CPQ,
∴CQ=CP=7.
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì):菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角.也考查了折疊的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是確定A′在PC上時(shí)CA′的長度最小.

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