Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標；
（2）設(shè)頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且EF=PF，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最��？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）E為AB中點，則橫坐標、縱坐標分別為3，1，故坐標為（3，1）；由A落在F處，則BF=AB=3，所以橫坐標、縱坐標分別為1，2，故坐標為（1，2）．
（2）因為FP=EF且圖中并無已知位置，所以畫圓是找全所有情況的最好辦法，發(fā)現(xiàn)y軸上存在兩點P，使得FP=EF，進一步根據(jù)三角形性質(zhì)可得到坐標，但要考慮題目中對P點的要求對最后結(jié)果進行取舍．求拋物線解析式通常采用的方法為待定系數(shù)法，注意題中已知F為頂點，故利用頂點式設(shè)拋物線解析式求解過程會簡單很多．
（3）四邊形周長最小我們基本沒有接觸過，但是周長中其中EF固定，那么周長最小就轉(zhuǎn)化為三段折現(xiàn)最短，恰起止兩點已經(jīng)固定，這是我們在學(xué)對稱軸時常見的畫圖找最短路徑題目，即利用兩次對稱點性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為兩個點間路徑最短的問題，則N、M兩點易找到，進而最短周長易求．

解答：解：
（1）E（3，1），F(xiàn)（1，2）．

（2）

如圖1，以點C為圓心，BF為半徑畫弧交y軸于P，P'，連接EF，F(xiàn)P，F(xiàn)P'．
∵CF⊥PP'，CP=CP'
∴F在PP'的垂直平分線上，
∴FP=FP'．
在△FCP和△EBF中，

FC=EB=1 ∠FCP=EBF CP=BF

，
∴△FCP≌△EBF，
∴FP=EF，CP=BF，
∴FP=FP'=EF，CP=CP'=BF=2，
∴P（0，4），P'（0，0）（此點不在y的正半軸上，舍去），
∵F（1，2）為拋物線頂點，
∴設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）²+2，
∴代入P（0，4），解得a=2，y=2（x-1）²+2=2x²-4x+4．

（3）

如圖2，作E點關(guān)于x軸的對稱的E'，做F點關(guān)于y軸的對稱的F'，連接E'F'交x軸，y軸分別為M，N，連接EF，EM，F(xiàn)M．
∵NF=NF'，EM=E'M，
∴C_{四邊形NMEF}=FM+NM+ME+FE=NF'+NM+ME'+EF=E'F'+EF，
根據(jù)兩點間線段最短得，此時C_{四邊形NMEF}最�。�
∵E（3，1），F(xiàn)（1，2），
∴E'（3，-1），F(xiàn)（-1，2），
∴BF'=4，BE'=3，
∴根據(jù)勾股定理，E'F'=5，
∵EF=

5

，
∴當(dāng)C_{四邊形NMEF}最小時，C_{四邊形NMEF}=E'F'+EF=5+

5

．

點評：本題考查了三角形性質(zhì)，待定系數(shù)求拋物線解析式及路徑最短等基礎(chǔ)知識，數(shù)據(jù)不復(fù)雜，難度也適中，是一道非常值得學(xué)生鞏固練習(xí)的題目．