Question

【題目】二次函數(shù)y=x2-x+6的圖象與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo);

(2)如果P(x,y)是線段BC上的動點,O為坐標(biāo)原點,試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點P,使得PO=PA?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(4,0),B(6,0),C(0,6).（2）S△POA=×4×(-x+6)=-2x+12,x的取值范圍是0≤x<6.（3）存在這樣的點P(2,4),使得OP=AP.

【解析】

（1）由圖像與x軸相交是，y=0，可求出x的值，即可求出A點、B點的坐標(biāo)，與y軸相交時x=0可求出y的值，即可得C點坐標(biāo)；（2）根據(jù)B、C坐標(biāo)可求出直線BC的一次函數(shù)解析式，根據(jù)三角形面積公式列出解析式即可；（3）由OP=AP可知P在OA的垂直平分線上，即可求出P點的橫坐標(biāo)，代入BC的解析式求出P點縱坐標(biāo)即可判斷是否存在.

(1)由題意,在y=x2-x+6中,

令y=0,

0=x2-x+6,

解得x=4或6,

當(dāng)x=0,y=6,

可得A(4,0),B(6,0),C(0,6).

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

將B(6,0),C(0,6)代入上式,得

解得

所以y=-x+6,

根據(jù)題意得S△POA=×4×y,

所以S△POA=×4×(-x+6)=-2x+12,

x的取值范圍是0≤x<6.

(3)若PO=PA,

則點P在線段OA的垂直平分線上,

因為OA=4,

所以P點橫坐標(biāo)為2,代入直線BC解析式得

y=-x+6=-2+6=4,

所以P點坐標(biāo)為(2,4),

所以存在這樣的點P(2,4),使得OP=AP.