【題目】如圖,ABC=ACB,AD、BD、CD分別平分ABC的外角EAC、內(nèi)角ABC、外角ACF.以下結(jié)論:

①ADBC;

ACB=2ADB;

ADC=90°﹣ABD;

④BD平分ADC;

BDC=BAC.

其中正確的結(jié)論有( )

A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)

【答案】C

【解析】

試題分析:根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得EAC=ABC+ACB=2ABC,根據(jù)角平分線的定義可得EAC=2EAD,然后求出EAD=ABC,再根據(jù)同位角相等,兩直線平行可得ADBC,判斷出①正確;

根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得ADB=CBD,再根據(jù)角平分線的定義可得ABC=2CBD,從而得到ACB=2ADB,判斷出②正確;

根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得ADC=DCF,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義整理可得ADC=90°﹣ABD,判斷出③正確;

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)與角平分線的定義表示出DCF,然后整理得到BDC=BAC,判斷出⑤正確,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得CBD=ADB,ABC與BAC不一定相等,所以ADB與BDC不一定相等,判斷出④錯(cuò)誤.

解:由三角形的外角性質(zhì)得,EAC=ABC+ACB=2ABC,

AD是EAC的平分線,

∴∠EAC=2EAD,

∴∠EAD=ABC,

ADBC,故①正確,

∴∠ADB=CBD,

BD平分ABC,

∴∠ABC=2CBD,

∵∠ABC=ACB,

∴∠ACB=2ADB,故②正確;

ADBC,

∴∠ADC=DCF,

CD是ACF的平分線,

∴∠ADC=ACF=ABC+BAC)=(180°﹣ACB)=(180°﹣ABC)=90°﹣ABD,故③正確;

由三角形的外角性質(zhì)得,ACF=ABC+BAC,DCF=BDC+DBC,

BD平分ABC,CD平分ACF,

∴∠DBC=ABC,DCF=ACF,

∴∠BDC+DBC=ABC+BAC)=ABC+BAC=DBC+BAC,

∴∠BDC=BAC,故⑤正確;

ADBC,

∴∠CBD=ADB,

∵∠ABC與BAC不一定相等,

∴∠ADB與BDC不一定相等,

BD平分ADC不一定成立,故④錯(cuò)誤;

綜上所述,結(jié)論正確的是①②③⑤共4個(gè).

故選C.

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