Question

16．已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，E為BC邊上一點(diǎn)，作∠AEF=∠ACF=90°
（1）試判斷AE和EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)四邊形ABCD的面積為16，BC的長為6，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BC，AN⊥CD垂足分別為M、N，在線段AM上截取AH=CE，連接HE，通過△AMB≌△AND證明四邊形AMCN是正方形，然后再證明△AHE≌△ECF即可．
（2）先證明S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AMCN}=16，求出正方形邊長，在RT△ADN中利用勾股定理即可解決．

解答 （1）解：作AM⊥BC，AN⊥CD垂足分別為M、N，在線段AM上截取AH=CE，連接HE．
∵∠AMC=∠MCN=∠=90°，
∴四邊形AMCN是矩形，
∴∠MAN=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠MAN，
∴∠BAM=∠DAN，
在△AMB和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠NAD}\\{∠AMB=∠N}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△AND，
∴AM=AN，
∴四邊形AMCN是正方形，
∴AM=CM，∠ACM=45°，
∵∠ACF=90°，
∴∠ECF=135°，
∵AH=EC，
∴MH=ME，
∴∠MHE=45°，∠AHE=135°=∠ECF，
∵∠FEC+∠AEM=90°，∠HAE+∠AEM=90°，
∴∠FEC=∠HAE，
在△AHE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠CEF}\\{AH=EC}\\{∠AHE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF．
（2）由（1）可知：四邊形AMCN是正方形，△AMB≌△AND，
∴S_△AMB=S_△AND，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AMCN}=16，
∴AN=MC=4，
∵BC=6，
∴MB=ND=2，
在RT△AND中，∵AN=4，ND=2，
∴AD=$\sqrt{A{N}^{2}+N{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、面積問題等知識，通過輔助線構(gòu)造正方形是解決問題的關(guān)鍵．