Question

11．在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，∠EDF=90°，已知CE=4，AE=2，BF-CF=$\frac{3}{2}$，求AB．

Answer 1

分析 延長FD至點G，使得DG=DF，連接BG，EG，易證△ADG≌△BDF，可得AG=BF，∠DAG=∠B，可證明∠EAG=90°，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)可得EF=EG，設(shè)BF=AG=x，由勾股定理得出方程，解方程求出BF、CF，再由勾股定理求出AB即可即可．

解答 解：延長FD至點G，使得DG=DF，連接AG，EG，EF，如圖所示：
∵D為斜邊AB的中點，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}&{\;}\\{∠ADG=∠BDF}&{\;}\\{DG=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴∴△ADG≌△BDF（SAS），
∴AG=BF，∠DAG=∠DBF，
∵∠DBF+∠BAC=90°，
∴∠DAG+∠BAC=90°，
即∠EAG=90°，
∴EG²=AG²+AE²，
設(shè)BF=AG=x，
∵BF-CF=$\frac{3}{2}$，
∴CF=x-$\frac{3}{2}$，
∵∠EDF=90°，
∴DE⊥FG，
∵DG=DF，
∴EF=EG，
∴EF²=EG²，
在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，
∴AG²+AE²=CE²+CF²，
即x²+2²=4²+（x-$\frac{3}{2}$）²，
解得：x=$\frac{19}{4}$，
∴BF=$\frac{19}{4}$，CF=x-$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{4}$，
∴BC=BF+CF=8，
∵∠C=90°，AC=AE+CE=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強有一定難度，證明△ADG≌△BDF是解題的關(guān)鍵．