Question

【題目】如圖，拋物線P：y1＝a（x＋2）2－3與拋物線Q：y2＝ （x－t）2＋1在同一個(gè)坐標(biāo)系中（其中a、t均為常數(shù)，且t＞0），已知拋物線P過(guò)點(diǎn)A（1，3），過(guò)點(diǎn)A作直線l∥x軸，交拋物線P于點(diǎn)B．

（1）a＝________，點(diǎn)B的坐標(biāo)是________；

（2）當(dāng)拋物線Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)．

①求拋物線Q的解析式；

②設(shè)直線l與拋物線Q的另一交點(diǎn)記作C，求的值；

（3）若拋物線Q與線段AB總有唯一的交點(diǎn)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（－5，3）；（2）①拋物線Q的解析式為：y2＝ （x－3）2＋1；②＝；（3）0＜t3．

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線P的解析式，即可得出結(jié)論；
（2）①利用待定系數(shù)法求出拋物線Q的解析式，即可得出結(jié)論；②先求出AC，AB即可得出結(jié)論；
（3）利用平移的特點(diǎn)和AB，AC的長(zhǎng)即可得出結(jié)論．

解：（1）∵拋物線P：y1＝a（x＋2）2－3過(guò)點(diǎn)A（1，3），

∴9a－3＝3，

∴a＝，

∴拋物線P：y1＝ （x＋2）2－3，

∵x軸，

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，

∴3＝ （x＋2）2－3，

∴x1＝1（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)），x2＝－5，

∴B（－5，3）．

（2）①∵拋物線Q：y2＝（x－t）2＋1過(guò)點(diǎn)A（1，3），

∴（1－t）2＋1＝3，

∴t1＝－1（舍去），t2＝3，

∴拋物線Q的解析式為：y2＝ （x－3）2＋1；

∵ x軸，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，

∴3＝（x－3）2＋1，

∴x1＝1（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)），x2＝5，

∴C（5，3），

∴AC＝5－1＝4，

由（1）知，B（－5，3），

∴AB＝1－（－5）＝6，

∴＝＝；

（3）∵拋物線Q：y2＝（x－t）2＋1

∴拋物線Q的開(kāi)口大小一定，頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)是1也是定值，
∴拋物線Q只是左右移動(dòng)，
當(dāng)拋物線Q向右平移的過(guò)程中，點(diǎn)A在拋物線Q的左側(cè)時(shí)，拋物線Q和線段AB有一個(gè)交點(diǎn)A，此時(shí)，t=3，
由（2）知，AC=4，將拋物線Q向左平移4個(gè)單位時(shí)，和線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，此段，－1＜t3時(shí)，拋物線Q與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，
再繼續(xù)把拋物線Q向左移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)B在拋物線Q的左側(cè)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，t=－3，
同上，拋物線Q與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，－7t＜－3，
∵t＞0，
即：0＜t3，拋物線Q與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)．