Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3（a，b是常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q．

（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范圍；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得： ，

解得：

（2）

解：拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，直線y=t，

聯(lián)立兩解析式可得：x2+2x﹣3=t，即x2+2x﹣（3+t）=0，

∵動(dòng)直線y=t（t為常數(shù)）與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，

∴△=4+4（3+t）＞0，

解得：t＞﹣4

（3）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，t），則P（﹣2﹣m，t）．

如圖，設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)D，則CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，

∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°，

∴△QCD∽△CPD，

∴ ，即 ，

整理得：t2+6t+9=m2+2m，

∵Q（m，t）在拋物線上，∴t=m2+2m﹣3，∴m2+2m=t+3，

∴t2+6t+9=t+3，化簡得：t2+5t+6=0

解得t=﹣2或t=﹣3，

當(dāng)t=﹣3時(shí)，動(dòng)直線y=t經(jīng)過點(diǎn)C，故不合題意，舍去．

∴t=﹣2

【解析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可求出a、b的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)及y=t，可得出方程，有兩個(gè)交點(diǎn)，可得△＞0，求解t的范圍即可；（3）證明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出t的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�