Question

【題目】把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)括起來,相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開,如：{2，3}，{4，5，6}，…，我們稱之為集合，其中每一個(gè)數(shù)稱為該集合的元素，如果一個(gè)所有元素均為有理數(shù)的集合滿足：當(dāng)有理數(shù)x是集合的一個(gè)元素時(shí)，2019x也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們又稱為黃金集合，例如{0，2019}就是一個(gè)黃金集合，

(1)集合{2019}_____黃金集合，集合{1，2020}_____黃金集合.(填“是”或“不是”)

(2)若一個(gè)黃金集合中最大的一個(gè)元素為4019，則該集合是否存在最小的元素?如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小元素，否則說明理由；

(3)若一個(gè)黃金集合中所有元素之和為整數(shù)M，且16150<M<16155，則該黃金集合中共有多少個(gè)元素?請(qǐng)說明你的理由.

Answer 1

【答案】(1)不是，是；(2)最小的元素是2000；(3)共有16個(gè)元素.

【解析】

（1）根據(jù)定義有理數(shù)2019是集合的元素時(shí)，2019-2019=0也必是這個(gè)集合的元素，而0不在集合內(nèi)，當(dāng)20192020=1時(shí)可知，-1在集合內(nèi)，則問題可解；
（2）根據(jù)定義，集合中較小的數(shù)為2019-4019=-2000；
（3）根據(jù)題意可知黃金集合都是成對(duì)出現(xiàn)的，并且這對(duì)對(duì)應(yīng)元素的和為2019，然后通過估算即可解答本題．

解：(1)根據(jù)題意可得,20192019=0,而集合{2019}中沒有元素0,故{2019}不是黃金集合；

∵20192020=1，

∴集合{1,2020}是黃金集合。

故答案為：不是，是

(2)一個(gè)黃金集合中最大的一個(gè)元素為4019，則該集合存在最小的元素，該集合最小的元素是2000.

∵2019a中a的值越大，則2019a的值越小，

∴一個(gè)黃金集合中最大的一個(gè)元素為4019，則最小的元素為：20194019=2000.

(3)該集合共有16個(gè)元素。

理由：∵在黃金集合中，如果一個(gè)元素為a，則另一個(gè)元素為2019a，

∴黃金集合中的元素一定是偶數(shù)個(gè).

∵黃金集合中的每一對(duì)對(duì)應(yīng)元素的和為：a+2019a=2019，2019×8=16152，2019×9=18171，

又∵一個(gè)黃金集合所有元素之和為整數(shù)M，且16150<M<16155，

∴這個(gè)黃金集合中的元素個(gè)數(shù)為：8×2=16(個(gè)).