【題目】如圖,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn), ∠ABC=60°,BC與x軸交于點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)(不與A、C重合),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿C-B-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(不與C、A重合) ,動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.若當(dāng)△APQ的面積最大時(shí),y軸上有一點(diǎn)M,第二象限內(nèi)存在一點(diǎn)N,使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形, 則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_________

【答案】

【解析】試題解析:∵直線y=x+4x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),

x=0,y=4,y=0,x=-4,

A點(diǎn)坐標(biāo)為:(-4,0),AO=4,BO=4

AB=8

∴∠BAC=60°,

∵∠ABC=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

CO=4,BC=8

當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí),作QHx軸.

,

,

QH=

S△APQ=APQH=t =t2﹙0<t≤4﹚,

同理可得S△APQ=t﹙8-t﹚=-t2+4t﹙4≤t<8﹚,

當(dāng)t=4時(shí)S=-t2+4t此時(shí)取到最大值,

∴當(dāng)△APQ的面積最大時(shí),此時(shí)QB重合,

當(dāng)以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,

AN1=8時(shí),且AN1y軸,則N1(-4,-8),

AN2=8時(shí),且AN2y軸,則N2(-4,8),

當(dāng)3點(diǎn)與C點(diǎn)重合坐標(biāo)為:N3(4,0),

當(dāng)AB是對(duì)角線,AE=AN=BE,設(shè)BE=x,則AE=AN=x,

∴在Rt△AEO

AE2=EO2+AO2,

x2=(4-x2+42,

解得:x=,

∴N(-4, ),

綜上所述,點(diǎn)N的坐標(biāo)為:(4,0)(-4,8)或(-4,-8)或(-4, ).

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(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上,設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,用m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng),并求出線段PC的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn),且滿足0°<∠PAB≤45°。請(qǐng)直接寫出:

①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;

②縱坐標(biāo)為整數(shù)點(diǎn)P為“巧點(diǎn)”,“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)。

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