Question

【題目】如圖，直線y=x＋4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)， ∠ABC=60°，BC與x軸交于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿C－B－A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(不與C、A重合) ，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．若當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)M，第二象限內(nèi)存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形, 則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_________

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴x=0，y=4，y=0，x=-4，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，0），AO=4，BO=4，

∴AB=8，

∴∠BAC=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴CO=4，BC=8，

當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QH⊥x軸．

∵，

∴，

∴QH=

∴S△APQ=APQH=t =t2﹙0＜t≤4﹚，

同理可得S△APQ=t﹙8-t﹚=-t2+4t﹙4≤t＜8﹚，

當(dāng)t=4時(shí)S=-t2+4t此時(shí)取到最大值，

∴當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，此時(shí)Q與B重合，

當(dāng)以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，

AN1=8時(shí)，且AN1∥y軸，則N1（-4，-8），

AN2=8時(shí)，且AN2∥y軸，則N2（-4，8），

當(dāng)3點(diǎn)與C點(diǎn)重合坐標(biāo)為：N3（4，0），

當(dāng)AB是對(duì)角線，AE=AN=BE，設(shè)BE=x，則AE=AN=x，

∴在Rt△AEO中

AE2=EO2+AO2，

∴x2=（4-x）2+42，

解得：x=，

∴N（-4， ），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4， ）．