Question

4．花香村計劃改造一片林地，估計這片林地可種梨樹80～133棵，根據經驗，若種100棵樹，果樹成熟后平均每棵樹上能結500個梨，在這個基礎上每多種一棵梨樹，平均每棵會少結3個梨，每少種一棵，平均每棵樹會多結4個梨．
（1）如果種植110棵梨樹，則總共能結多少個梨？
（2）設種植x棵梨樹，總共能結y個梨．
①當80≤x≤100時，求出y與x之間的函數關系式；
②當100＜x≤134時，求出y與x之間的函數關系式；
（3）種多少棵梨樹，總共能結的梨最多？最多是多少？

Answer 1

分析 （1）根據總數=樹的棵樹×每棵樹上梨子的數量可得；
（2）①根據：梨子總數=梨樹的棵樹×（500+因樹的數量減少而多結的數量），
②根據：梨子總數=梨樹的棵樹×（500-因樹的數量增多而少結的數量），列出函數關系式即可；
（3）分別就（2）中所列函數關系式結合自變量的取值范圍討論其最值即可．

解答 解：（1）110×[500-（110-100）×3]=51700（個）
（2）①y=x[500+（100-x）×4]=-4x²+900x．（80≤x≤100）
②y=x[500-（x-100）×3]=-3x²+800x （100＜x≤133）
（3）分兩種情況進行討論：
①當80≤x≤100時，y=-4x²+900x．
此時，x=-$\frac{2a}$=112.5，所以y 隨x的增大而增大．
所以，當x=100時，y最大值為50000．
②當100＜x≤133時，y=-3x²+800x．
此時，x=-$\frac{2a}$=133.3，所以y隨x的增大而增大．
所以：當x=133時，y最大值為53333．
綜上，種133棵梨樹，總共能結的梨最多，最多是53333．

點評 本題主要考查二次函數的實際應用能力，準確找到相等關系是解題的關鍵，二次函數的最大值的計算方法，需要注意的是，由于該函數圖象只是拋物線的一部分，所以應根據拋物線的頂點坐標，準確判斷在取值范圍內，函數的增減性．