Question

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A（2，6）、點B（10，2）的直線與兩條坐標(biāo)軸分別相交于C、D兩點，點P是x軸上的一點
（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）若∠APB=90°，求△APB的面積；
（3）若△APB的面積等于20，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得AB的長和AB的中點，當(dāng)∠APB=90°時，P到AB的中點的距離等于AB的一半，據(jù)此即可列方程求得P的坐標(biāo)，則△APB的面積即可求得；
（3）過A和B作x軸的垂線，垂足分別是E和F，則E的坐標(biāo)是（2，0），F(xiàn)的坐標(biāo)是（10，0），然后分成P在線段EF上、在線段FE的延長線上和在EF的延長線上三種情況討論，利用x表示出△PAB的面積，即可列方程求得．

解答 解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{10k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=7}\end{array}\right.$，
則直線AB的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+7；
（2）AB=$\sqrt{（10-2）^{2}+（2-6）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
AB的中點是（6，4）．
設(shè)P的坐標(biāo)是（x，0），
則$\sqrt{（6-x）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$，
解得：x=4或8．
則P的坐標(biāo)是（4，0）或（8，0）．
當(dāng)P的坐標(biāo)是（4，0）時，AP=$\sqrt{（4-2）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，PB=$\sqrt{（10-4）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
則S△PAB=$\frac{1}{2}$AP•PB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×2$\sqrt{10}$=20；
當(dāng)P的坐標(biāo)是（8，0）時，PA=$\sqrt{（8-2）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{（10-8）^{2}+{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
則S△PAB=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=24；
（3）過A和B作x軸的垂線，垂足分別是E和F，則E的坐標(biāo)是（2，0），F(xiàn)的坐標(biāo)是（10，0）．
則EF=10-2=8．
則S_梯形ABFE=$\frac{1}{2}$（BF+AE）•EF=$\frac{1}{2}$（2+6）×8=32，
當(dāng)P在線段EF上時（如圖1），PE=x-2，PF=10-x，
則S_△APE=$\frac{1}{2}$PE•AE=$\frac{1}{2}$×（x-2）×6=3（x-2），S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$（10-x）×2=10-x．
則32-3（x-2）-（10-x）=20，
解得：x=4，則P的坐標(biāo)是（4，0）；
當(dāng)P在FE的延長線上時，如圖2，PE=2-x，PF=10-x，
則S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$×6（2-x）=3（2-x），S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$（10-x）×2=10-x，
則S_△PAB=S_△APE+S_梯形ABFE-S_△BPF，
則3（2-x）+32-（10-x）=20，
解得：x=4（舍去）；
當(dāng)P在EF的延長線上時，如圖3．
PE=x-2，PF=x-10，
則S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$×6（x-2）=3（x-2），S_△BPF=$\frac{1}{2}$PF•BF=$\frac{1}{2}$（x-10）×2=x-10，
S_△PAB=S_梯形ABFE-S_△BPF-S_△APE，
則32+（x-10）-3（x-2）=20，
解得：x=4（舍去）．
綜上所述，P的坐標(biāo)是（4，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及圖形的面積的計算，把求△PAB的面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和、差是本題的關(guān)鍵．