Question

3．觀察下列一組等式，然后解答后面的問題
（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}-1$）=1，（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1…
（1）觀察上面規(guī)律，計算下面的式子$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
（2）利用上面的規(guī)律
比較$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$與$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中材料，可以先將所求式子分母有理化，再化簡即可解答本題；
（2）根據(jù)上面的規(guī)律可以比較$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$與$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$的大�。�

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
=$（\sqrt{2}-1）+（\sqrt{3}-\sqrt{2}）+（\sqrt{4}-\sqrt{3}）$+…+（$\sqrt{100}-\sqrt{99}$）
=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$$+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}-1$
=10-1
=9；
（2）∵$\sqrt{11}-\sqrt{10}=\frac{（\sqrt{11}-\sqrt{10}）（\sqrt{11}+\sqrt{10}）}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，
$\sqrt{12}-\sqrt{11}=\frac{（\sqrt{12}-\sqrt{11}）（\sqrt{12}+\sqrt{11}）}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$=$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
又∵$\sqrt{12}+\sqrt{11}＞\sqrt{11}+\sqrt{10}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}＞\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
即$\sqrt{11}-\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}-\sqrt{11}$．

點評 本題考查分母有理化、實數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，解答相關(guān)問題．