Question

8．△ABC中，AD是BC邊的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形ADCF是矩形；
（3）當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形；
（4）當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）、（4）小題直接填寫(xiě)條件，不需要寫(xiě)出理由．

Answer 1

分析 （1）利用△AEF≌△DEB得到AF=DB，所以AF=DC，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）根據(jù)矩形的判定定理可知，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以要令∠ADC=90°的條件皆可，如AB=AC或∠ABC=∠ACB；
（3）根據(jù)菱形的判定定理可知，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以要令∠BAC=90゜即可；
（4）根據(jù)正方形的判定定理可知，所以要令A(yù)B=AC且∠BAC=90゜即可．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠EDB，∠AFE=∠EBD，
在AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB，
又∵BD=DC，
∴AF=DC，
又∵AF∥DC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形．

（2）解：當(dāng)△ABC滿足AB=AC 條件時(shí)，四邊形ADCF是矩形；
理由：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴平行四邊形ADCF是矩形；

（3）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90゜條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形；
理由：∵∠BAC=90゜，BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形；

（4）當(dāng)△ABC滿足AB=AC且∠BAC=90゜條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形．
理由：∵AB=AC且∠BAC=90゜，BD=DC，
∴AD=DC，且∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的判定方法以及平行四邊形，矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知識(shí)．要熟知這些判定定理才會(huì)靈活運(yùn)用，根據(jù)性質(zhì)才能得到需要的相等關(guān)系．