Question

已知拋物線y=

1

4

mx²-2mx+4m-

3

3

與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，0），B（x₂，0）（x_l＜x₂），且x₁²+x₂²=34．
（1）求m，x₁，x₂的值；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題要根據(jù)韋達(dá)定理來(lái)求解，先表示出x₁+x₂和x₁•x₂的值，然后代入x₁²+x₂²=34中即可求出m的值，進(jìn)而可求出x₁，x₂的值．
（2）如果△ABC是一個(gè)頂角為120°的等腰三角形，那么∠CBA=30°，即直線BC的斜率為

3

3

，據(jù)此可求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷AC是否等于BC或AB是否等于BC即可，再利用C點(diǎn)可能在x軸上方，分別求出即可．

解答：解：（1）令y=0，則有：0=

1

4

mx²-2mx+4m-

3

3

；
∴x₁+x₂=8，x₁•x₂=

16m- 4 3 3

m

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=64-2×

16m- 4 3 3

m

=34
解得m=

4 3

3

∴y=

3

3

x²-

8 3

3

x+5

3

∴

3

3

x²-

8 3

3

x+5

3

=0，
解得x₁=3，x₂=5
（2）假設(shè)存在符合條件的C點(diǎn)，那么∠CBA=30°，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則k=tan30°=

3

3

，已知B（5，0）
∴y=

3

3

x-

5 3

3

聯(lián)立拋物線的解析式有：

y= 3 3 x- 5 3 3 y= 3 3 x2- 8 3 3 x+5 3

解得：

x=5 y=0

，

x=4 y=- 3 3

∴存在符合條件的C點(diǎn)，坐標(biāo)為（4，-

3

3

）．
如圖所示：
當(dāng)AB=BC′時(shí)，過(guò)點(diǎn)C′作C′E⊥x軸于點(diǎn)E，
∵∠ABC′=120°，則∠C′BE=60°，
∴∠BC′E=30°，
∴BE=

1

2

BC′=1，
∴EC′=

3

，
∴C′（6，

3

）．
當(dāng)AC″=AB時(shí)，C″（2，

3

）．
綜上所述：C點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，-

3

3

），（6，

3

），（2，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．