【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.
(1)求證:KE=GE;
(2)若KG2=KDGE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=,求FG的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AC∥EF,證明見解析;(3)FG= .
【解析】
試題(1)如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根據(jù)等角對等邊得到KE=GE;
(2)AC與EF平行,理由為:如圖2所示,連接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KDGE,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似,又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,從而得到AC∥EF;
(3)如圖3所示,連接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圓的半徑,根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的長度.
試題解析:(1)如圖1,連接OG.
∵EG為切線,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由為連接GD,如圖2所示.
∵KG2=KDGE,即 ,
∴ ,
又∵∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,
又∵∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF;
(3)連接OG,OC,如圖3所示,
∵EG為切線,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
∵sinE=sin∠ACH=
,設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,
∴CK=AC=5t,
∴HK=CK-CH=t.
在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=(2 )2,解得t= .
設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=.
∵EF為切線,
∴△OGF為直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=r=,tan∠OFG=tan∠CAH= ,
∴FG=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把一個(gè)足球垂直水平地面向上踢,時(shí)間為t(秒)時(shí)該足球距離地面的高度h(米)適用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4).
(1)當(dāng)t=3時(shí),求足球距離地面的高度;
(2)當(dāng)足球距離地面的高度為10米時(shí),求t;
(3)若存在實(shí)數(shù)t1,t2(t1≠t2)當(dāng)t=t1或t2時(shí),足球距離地面的高度都為m(米),求m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自行車廠某周計(jì)劃生產(chǎn)2100輛電動車,平均每天生產(chǎn)電動車300輛.由于各種原因,實(shí)際每天的生產(chǎn)量與計(jì)劃每天的生產(chǎn)量相比有出入,下表是該周的實(shí)際生產(chǎn)情況(超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù),單位:輛):
(1)該廠星期一生產(chǎn)電動車 輛;
(2)生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)電動車 輛;
(3)該廠實(shí)行記件工資制,每生產(chǎn)一輛車可得60元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家具廠生產(chǎn)一種課桌和椅子,課桌每張定價(jià)200 元,椅子每把定價(jià)80元,廠方在開展促銷活動期間,向客戶提供兩種優(yōu)惠方案:方案一:每買一張課桌就贈送一把椅子;方案二:課桌和椅子都按定價(jià)的80%付款.某校計(jì)劃添置100張課桌和x把椅子.
(1)若x>100,請用含x的代數(shù)式分別把兩種方案的費(fèi)用表示出來;
(2)若x=300,如果兩種方案可以同時(shí)使用,作為一種新的方案,請幫助學(xué)校設(shè)計(jì)一種最省錢的方案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】操作與探究:已知:點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),∠COD=90°,射線OE平分∠AOD.
(1)如圖①所示,若∠COE=20°,則∠BOD= °.
(2)若將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置,試判斷∠BOD和∠COE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖③的位置,繼續(xù)探究∠BOD和∠COE的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出∠BOD和∠COE之間的數(shù)量關(guān)系: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC外切于⊙O,切點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,F,∠A=60°,BC=7,⊙O的半徑為.求:(1)求BF+CE的值; (2)求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,若干個(gè)完全相同的小正方體堆成一個(gè)幾何體.
(1)從正面、左面、上面觀察該幾何體,分別在所給的網(wǎng)格圖中畫出你所看到的形狀圖;
(2)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體,如果保持從左面、上面觀察該幾何體得到的形狀圖不變,那么在這個(gè)幾何體上最多可以再添加多少個(gè)小正方體?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G,且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm.求:
(1)∠BOC的度數(shù);
(2)BE+CG的長;
(3)⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(x-1)(x+1)=x2-1,
(x-1)(x2+x+1)=x3-1,
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)= ,
………
猜想:(x-1)(xn+xn-1+…+x2+x+1)= ,
(2)根據(jù)以上結(jié)果,試寫出下面兩式的結(jié)果
①(x-1)(x49+x48+…+x2+x+1)= ,
②(x20-1)÷(x-1)= ,
(3)利用以上結(jié)論求值:1+3+32+33+34+……+32018
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