【題目】(1)方法回顧:在學(xué)習(xí)三角形中位線時(shí),為了探索三角形中位線的性質(zhì),思路如下:

第一步添加輔助線:如圖1,在中,延長分別是的中點(diǎn))到點(diǎn),使得,連接

第二步證明,再證四邊形是平行四邊形,從而得出三角形中位線的性質(zhì)結(jié)論:____________________________________(請(qǐng)用DE與BC表示)


(2)問題解決:如圖2,在正方形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn),若AG=2,DF=3,∠GEF=90°,求GF的長.

(3)拓展研究:如圖3,在四邊形ABCD中,∠A=105°,∠D=120°,E為AD的中點(diǎn),G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn),若AG=,DF=2,∠GEF=90°,求GF的長.

【答案】DEBC,DE=BC.

【解析】分析:(1)直接得出結(jié)論即可;

2)延長GEFD交于點(diǎn)H,可證得△AEG≌△DEH,結(jié)合條件可證明EF垂直平分GH,可得GF=FH可求得GF的長;

3)過點(diǎn)DAB的平行線交GE的延長線于點(diǎn)HHCD的垂線,垂足為P,連接HF,可證明△AEG≌△DEH結(jié)合條件可得到△HPD為等腰直角三角形,可求得PF的長.在RtHFP,可求得HF則可求得GF的長.

詳解1DEBC,DE=BC

2)如圖2,延長GE、FD交于點(diǎn)H,

EAD中點(diǎn),

EA=ED,且∠A=EDH=90°,

AEGDEH中,

∵∠A=EDH,EA=ED,∠AEG=HED,

AEGDEHASA),

AG=HD=2,EG=EH

∵∠GEF=90°,

EF垂直平分GH,

GF=HF=DH+DF=2+3=5;

3)如圖3,過點(diǎn)DAB的平行線交GE的延長線于點(diǎn)H,過HCD的垂線,垂足為P,連接HF,

同(1)可知AEGDEH,GF=HF,

∴∠A=HDE=105°,AG=HD=3

∵∠ADC=120°,

∴∠HDF=360°105°120°=135°,

∴∠HDP=45°,

PDH為等腰直角三角形,

PD=PH=1

DF2,

PF=PD+DF=1+2=3

GF=HF=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)在(2)的情況下,問是否存在x軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q,使得以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出符合題意的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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按上述信息,小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離 (千米)與時(shí)間 (分鐘)的函數(shù)關(guān)系用圖3表示,其中:“11:40時(shí)甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點(diǎn) ,點(diǎn) 坐標(biāo)為 ,曲線 可用二次函數(shù) , 是常數(shù))刻畫.
(1)求 的值,并求出潮頭從甲地到乙地的速度;
(2)11:59時(shí),小紅騎單車從乙地出發(fā),沿江邊公路以 千米/分的速度往甲地方向去看潮,問她幾分鐘后與潮頭相遇?
(3)相遇后,小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭,沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行,但潮頭過乙地后均勻加速,而單車最高速度為 千米/分,小紅逐漸落后,問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時(shí)間?(潮水加速階段速度 , 是加速前的速度).

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