Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）直線y=﹣x+n與該拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)D，與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，且BE=4EC．

①求n的值；

②連接AC，CD，線段AC與線段DF交于點(diǎn)G，△AGF與△CGD是否全等？請說明理由；

（3）直線y=m（m＞0）與該拋物線的交點(diǎn)為M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），點(diǎn) M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M'，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，0）．若四邊形OM'NH的面積為．求點(diǎn)H到OM'的距離d的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①n=﹣2；②△AGF與△CGD全等；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，可得拋物線的解析式；

（2）①過點(diǎn)E作EE'⊥x軸于E'，則EE'∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得BE'=4OE'，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），則OE'=x，BE'=4x，根據(jù)OB=2，可得x的值，再根據(jù)直線BC的解析式即可得到E的坐標(biāo)，把E的坐標(biāo)代入直線y=﹣x+n，可得n的值；

②根據(jù)F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF=1，再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），可得CD∥x軸，CD=1，再根據(jù)∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；

（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出OH=1=M'N，進(jìn)而判定四邊形OM'NH是平行四邊形，再根據(jù)四邊形OM'NH的面積，求得OP的長，再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)得到PM'的長，Rt△OPM'中，運(yùn)用勾股定理可得OM'的值，最后根據(jù)OM'×d=，即可得到d的值．

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式；

（2）①如圖，過點(diǎn)E作EE'⊥x軸于E'，則EE'∥OC，∴，∵BE=4EC，∴BE'=4OE'，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），則OE'=x，BE'=4x，∵B（2，0），∴OB=2，即x+4x=2，∴x=，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，﹣3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b'，∵B（2，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直線BC的解析式為，當(dāng)x=時(shí)，y=﹣，∴E（，﹣），把E的坐標(biāo)代入直線y=﹣x+n，可得﹣+n=﹣，解得n=﹣2；

②△AGF與△CGD全等．理由如下：

∵直線EF的解析式為y=﹣x﹣2，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣2，∴F（﹣2，0），OF=2，∵A（﹣1，0），∴OA=1，∴AF=2﹣1=1，由，解得：或，∵點(diǎn)D在第四象限，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣3），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），∴CD∥x軸，CD=1，∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，∴△AGF≌△CGD；

（3）∵拋物線的對稱軸為x= =，直線y=m（m＞0）與該拋物線的交點(diǎn)為M，N，∴點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=對稱，設(shè)N（t，m），則M（1﹣t，m），∵點(diǎn) M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M'，∴M'（t﹣1，m），∴點(diǎn)M'在直線y=m上，∴M'N∥x軸，∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，∵H（1，0），∴OH=1=M'N，∴四邊形OM'NH是平行四邊形，設(shè)直線y=m與y軸交于點(diǎn)P，∵四邊形OM'NH的面積為，∴OH×OP=1×m=，即m=，∴OP=，當(dāng)=時(shí)，解得x1=﹣，x2=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，），∴M'（，），即PM'=，∴Rt△OPM'中，OM'==，∵四邊形OM'NH的面積為，∴OM'×d=，∴d=．