【題目】如圖,菱形ABCD中,∠B60°AB3cm,過點A作∠EAF60°,分別交DC,BC的延長線于點E,F,連接EF

1)如圖1,當CECF時,判斷△AEF的形狀,并說明理由;

2)若△AEF是直角三角形,求CE,CF的長度;

3)當CE,CF的長度發(fā)生變化時,△CEF的面積是否會發(fā)生變化,請說明理由.

【答案】(1) AEF是等邊三角形,證明見解析;(2) CF,CE6CF6,CE;(3) CEF的面積不發(fā)生變化,理由見解析.

【解析】

1)證明△BCE≌△DCFSAS),得出∠BEDF,CBE=∠CDF,證明△ABE≌△ADFSAS),得出AEAF,即可得出結論;

2)分兩種情況:①∠AFE90°時,連接AC、MN,證明△MAC≌△NADASA),得出AMAN,CMDN,證出△AMN是等邊三角形,得出AMMNAN,設AMANMNm,DNCMbBMCNa,證明△CFN∽△DAN,得出,得出FNAFm+,同理AEm+,在RtAEF中,由直角三角形的性質得出AE2AF,得出m+2m+),得出b2a,因此,得出CFAD,同理CE2AB6;

②∠AEF90°時,同①得出CEAD,CF2AB6

3)作FHCDH,如圖4所示:由(2)得BMCNa,CMDNb,證明△ADN∽△FCN,得出,由平行線得出∠FCH=∠B60°,△CEM∽△BAM,得出,得出,求出CF×CEAD×AB3×39,由三角函數(shù)得出CHCF×sinFCHCF×sin60°CF,即可得出結論.

解:(1)△AEF是等邊三角形,理由如下:

連接BE、DF,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是菱形,

ABBCDCAD,∠ABC=∠ADC

在△BCE和△DCF中,,

∴△BCE≌△DCFSAS),

∴∠BEDFCBE=∠CDF,

∴∠ABC+CBE=∠ADC+CDF,

即∠ABE=∠ADF,

在△ABE和△ADF中,,

∴△ABE≌△ADFSAS),

AEAF,又∵∠EAF60°,

∴△AEF是等邊三角形;

2)分兩種情況:

①∠AFE90°時,連接AC、MN,如圖2所示:

∵四邊形ABCD是菱形,

ABBCDCAD3,∠D=∠B60°,ADBC,ABCD,

∴△ABC和△ADC是等邊三角形,

ACAD,∠ACM=∠D=∠CAD60°=∠EAF,

∴∠MAC=∠NAD,

在△MAC和△NAD中,,

∴△MAC≌△NADASA),

AMAN,CMDN,

∵∠EAF60°,

∴△AMN是等邊三角形,

AMMNAN,

AMANMNm,DNCMbBMCNa,

CFAD

∴△CFN∽△DAN,

,

FN,

AFm+,

同理:AEm+

RtAEF中,∵∠EAF60°,

∴∠AEF30°,

AE2AF

m+2m+),

整理得:b2ab2a20,

b2a)(b+a)=0

b+a≠0,

b2a0

b2a,

,

CFAD

同理:CE2AB6;

②∠AEF90°時,連接AC、MN,如圖3所示:

同①得:CEADCF2AB6;

3)當CECF的長度發(fā)生變化時,△CEF的面積不發(fā)生變化;理由如下:

FHCDH,如圖4所示:

由(2)得:BMCNa,CMDNb,

ADCF

∴△ADN∽△FCN,

,

CEAB,

∴∠FCH=∠B60°,△CEM∽△BAM

,

,

CF×CEAD×AB3×39

CHCF×sinFCHCF×sin60°CF,

CEF的面積=CE×FHCE×CF×9×,∴△CEF的面積是定值,不發(fā)生變化.

練習冊系列答案
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類比拓展

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時,寫出一個符合表中數(shù)據的函數(shù)解析式

時,寫出一個符合表中數(shù)據的函數(shù)解析式

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