【題目】在矩形ABCD中,點P在AD上,AB=2,AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處,直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F,連接EF(如圖1).
(1)當點E與點B重合時,點F恰好與點C重合(如圖2).
①求證:△APB∽△DCP;
②求PC、BC的長.
(2)探究:將直角尺從圖2中的位置開始,繞點P順時針旋轉(zhuǎn),當點E和點A重合時停止.在這個過程中(圖1是該過程的某個時刻),觀察、猜想并解答:
① tan∠PEF的值是否發(fā)生變化?請說明理由.
② 設(shè)AE=x,當△PBF是等腰三角形時,請直接寫出x的值.
【答案】(1)①證明見解析;②PC=2,BC=5;(2)①tan∠PEF的值不變;②x=或x=或x=.
【解析】
(1)①由勾股定理求BP,利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP;②利用相似比求PC,DP, 再根據(jù)BC=AD=AP+DP即可求得BC的長;
(2)①tan∠PEF的值不變.理由為:過F作FG⊥AD,垂足為點G. 則四邊形ABFG是矩形,同(1)的方法證明△APE∽△GFP,得相似比,再利用銳角三角函數(shù)的定義求值;②利用相似比求GP,再矩形性質(zhì)求出BF,△PBF是等腰三角形,分三種情況討論:(Ⅰ) 當PB=PF時,根據(jù)BF=2AP求值;當BF=BP時,(Ⅱ)根據(jù)BP=求值;(Ⅲ) 當BF=PF時,根據(jù)PF=即可求出x值.
解:(1)①如圖3.2,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,CD=AB=2,
∴在Rt△ABC中,
∠1+∠2=90°,BP=.
又∵∠BPC=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3.
∴△APB∽△DCP.
②由△APB∽△DCP.
∴,即.
∴PC=2,DP=4.
∴BC=AD=AP+DP=5.
(2)①tan∠PEF的值不變.
理由如下:
如圖3.1,過F作FG⊥AD,垂足為點G. 則四邊形ABFG是矩形.
∴∠A=∠PGF=90°,FG=AB=2,
∴在Rt△APE中,∠1+∠2=90°,
又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3.
∴△APE∽△GFP,
∴.
∴在Rt△EPF中,tan∠PEF=2.
∴tan∠PEF的值不變.
②由△APE∽△GFP.
∴.
∴GP=2AE=2x,
∵四邊形ABFG是矩形.
∴BF=AG=AP+GP=2x+1.
△PBF是等腰三角形,分三種情況討論:
(Ⅰ)當PB=PF時,點P在BF的垂直平分線上.
∴ BF=2AP. 即2x+1=2,
∴x=.
(Ⅱ)當BF=BP時,
BP=BP=
∴2x+1=.
∴x=.
(Ⅲ)當BF=PF時,
∵PF=,
∴(2x)2+22=(2x+1)2,
∴x=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科學(xué)研究發(fā)現(xiàn),海平面大氣壓約是100千帕,它隨海拔升高而降低,海拔3000米以下,每升高100米,氣壓下降約1千帕:3000﹣5000米每升高100米,氣壓下降約0.8千帕設(shè)山的海拔高度為x米,相應(yīng)的大氣壓為y千帕.
(1)當0<x<3000時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)周末,小明和小伙伴登山(山峰海拔小于5000米)游玩,在山頂測得大氣壓為63.6千帕,則該山峰海拔約為多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“宜居襄陽”是我們的共同愿景,空氣質(zhì)量備受人們關(guān)注.我市某空氣質(zhì)量監(jiān)測站點檢測了該區(qū)域每天的空氣質(zhì)量情況,統(tǒng)計了2013年1月份至4月份若干天的空氣質(zhì)量情況,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)統(tǒng)計圖共統(tǒng)計了 天的空氣質(zhì)量情況;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;空氣質(zhì)量為“優(yōu)”所在扇形的圓心角度數(shù)是 ;
(3)從小源所在環(huán)保興趣小組4名同學(xué)(2名男同學(xué),2名女同學(xué))中,隨機選取兩名同學(xué)去該空氣質(zhì)量監(jiān)測站點參觀,則恰好選到一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式;
(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點,是否存在點P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由;
考生注意:下面的(3)、(4)、(5)題為三選一的選做題,即只能選做其中一個題目,多答時只按作答的首題評分,切記啊!
(3)在平面直角坐標系中,是否存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(4)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點,過點Q作QE垂直于x軸,垂足為E.是否存在點Q,使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(5)點M為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點Q,使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=x與拋物線y=x2交于A、B兩點.
(1)求交點A、B的坐標;
(2)記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y1,二次函數(shù)y=x2的函數(shù)值為y2.若y1>y2,求x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的相交情況,關(guān)于下列結(jié)論:
①方程ax2+bx=0的兩個根為x1=0,x2=﹣4;②b﹣4a=0;③9a+3b+c<0;其中正確的結(jié)論有( )
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察表格:根據(jù)表格解答下列問題:
(l) a=______,b=_____,c=_____;
(2) 在右圖的直角坐標系中畫出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,并根據(jù)圖象,直接寫出當x取什么實數(shù)時,不等式ax2+bx+c > -3成立;
(3)該圖象與x軸兩交點從左到右依次分別為A、B,與y軸交點為C,求過這三個點的外接圓的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果把函數(shù)y=x2(x≤2)的圖象和函數(shù)y=的圖象組成一個圖象,并稱作圖象E,那么直線y=3與圖象E的交點有_____個;若直線y=m(m為常數(shù))與圖象E有三個不同的交點,則常數(shù)m的取值范圍是_____.
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【題目】對于任意一個自然數(shù)N,將其各個數(shù)位上的數(shù)字相加得到一個數(shù),我們把這一過程稱為一次操作,把這個得到的數(shù)進行同樣的操作,不斷進行下去,最終會得到一個一位數(shù)K,我們把K稱為N的“終極數(shù)”,并記f(N)=K.例如,456→4+5+6=15→1+5=6,∴f(456)=6.
(1)計算:f(2019)= .f(20192020)= .
(2)有一個三位自然數(shù)M=,已知f(M)=4,且x<y<z,請求出所有滿足條件的自然數(shù)M.
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