Question

已知關于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個實數根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|x₁+x₂|=x₁x₂-1，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程有兩個實數根，可得△=b²-4ac≥0，代入可解出k的取值范圍；
（2）結合（1）中k的取值范圍，由題意可知，x₁+x₂=2（k-1）＜0，去絕對值號結合等式關系，可得出k的值．
解答：解：（1）由方程有兩個實數根，可得
△=b²-4ac=4（k-1）²-4k²=4k²-8k+4-4k²=-8k+4≥0，
解得，k≤；

（2）依據題意可得，x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²，
由（1）可知k≤，
∴2（k-1）＜0，x₁+x₂＜0，
∴-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=x₁•x₂-1，
∴-2（k-1）=k²-1，
解得k₁=1（舍去），k₂=-3，
∴k的值是-3．
答：（1）k的取值范圍是k≤；（2）k的值是-3．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種經常使用的解題方法；注意k的取值范圍是正確解答的關鍵．