Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，將矩形繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在線段AC上，得矩形CEFG，邊CD與EF交于點(diǎn)H，連接DG．
（1）CH=

 

．
（2）求DG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=BC，然后根據(jù)△ABC和△CEH相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；
（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于M，然后求出△ABC和△GMC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CM、MG，再求出DM，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得到DG．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=

42+32

=5，
∵矩形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得矩形CEFG，
∴CE=BC=3，
∵∠BAC+∠ACB=90°，∠ECH+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ECH，
又∵∠B=∠CEH=90°，
∴△ABC∽△CEH，
∴

CH

AC

=

CE

AB

，
即

CH

5

=

3

4

，
解得CH=

15

4

；
故答案為：

15

4

；

（2）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥CD于M，
∵∠ACB+∠ACD=∠GCM+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠GCM，
又∵∠B=∠GMC=90°，
∴△ABC∽△GMC，
∴

CM

BC

=

MG

AB

=

CG

AC

，
即

CM

3

=

MG

4

=

4

5

，
解得CM=

12

5

，MG=

16

5

，
∴DM=CD-CM=4-

12

5

=

8

5

，
在Rt△DMG中，DG=

DM2+MG2

=

( 8 5 )2+( 16 5 )2

=

8 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造成相似三角形．