Question

3．如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且CE=4，將正方形折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合折痕為MN，若tan∠EAB=$\frac{1}{3}$，求cos∠ENB的值．

Answer 1

分析 首先設(shè)BE=x，由在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且CE=4，可得AB=x+4，又由tan∠EAB=$\frac{1}{3}$，即可求得x的值，然后由設(shè)BN=y，由折疊的性質(zhì)，可得AN=EN=6-y，然后由勾股定理得方程y²+2²=（6-y）²，繼而求得答案．

解答 解：設(shè)BE=x，
∵在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且CE=4，
∴AB=BC=BE+CE=x+4，∠B=90°，
∵tan∠EAB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{x}{x+4}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x=2，
∴BE=2，
∴AB=x+4=6，
設(shè)BN=y，則AN=AB-BN=6-y，
∵將正方形折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合折痕為MN，
∴EN=AN=6-y，
∵BN²+BE²=EN²，
∴y²+2²=（6-y）²，
解得：y=$\frac{8}{3}$，
∴BN=$\frac{8}{3}$，EN=$\frac{10}{3}$，
∴cos∠ENB=$\frac{BN}{EN}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．