Question

15．如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒$\frac{5}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)N到OA的距離；
（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理計(jì)算出OB，再用三角函數(shù)即可；
（2）得到S與t的函數(shù)關(guān)系，從而確定出面積最大值；
（3）要使△OMN是直角三角形，一個(gè)直角三角形和它相似，即可；

解答 解：（1）如圖1，在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{{OA}^{2}{+AB}^{2}}$=5，
∴sin∠O=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{3}{5}$
∴點(diǎn)N到OA的距離為ON×sin∠O=$\frac{5}{4}$t×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{4}$t；
（2）S=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{8}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，
最大值為S=$\frac{3}{2}$．
（3）∵△ABO為直角三角形，
∴以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形和△ABO相似時(shí)，△OMN是直角三角形；
當(dāng)△OMN∽△OAB時(shí)，
∴$\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}$，
∴$\frac{4-t}{4}=\frac{\frac{5}{4}t}{5}$，
∴t=2，
當(dāng)△OMN∽△OBA時(shí)，
∴$\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}$，
∴$\frac{4-t}{5}=\frac{\frac{5}{4}t}{4}$，
∴t=$\frac{64}{41}$，
∴t=2或t=$\frac{64}{41}$時(shí)，△OMN是直角三角形

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形的綜合題，主要靠考查點(diǎn)到直線的距離，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形和△ABO相似的判斷．