Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF．

（1）請(qǐng)證明0E=OF

（2）解答（1）題后，某同學(xué)產(chǎn)生了如下猜測(cè)：對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥EB，AG交 EB的延長(zhǎng)線于 G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，則仍有OE=OF．問(wèn)：猜測(cè)所得結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE=OF仍成立.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)可得AC⊥BD,∠OAF+∠AFO=90°,

因?yàn)?/span>AG⊥BE,所以∠EBO+∠BFG=90°,因?yàn)椤?/span>BFG=∠AFO,所以∠OAF=∠EBO,

因?yàn)椤?/span>AOF=∠BOE,AO=BO,所以△AOF≌△BOE,所以OE=OF,

（2）根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì),可得:AC⊥BD,即可求出∠OAF+∠AFO=90°,

因?yàn)?/span>AG⊥BE,所以∠BEO+∠EAG=90°,所以∠AFO=∠BEO,因?yàn)椤?/span>AOF=∠BOE,AO=BO,

所以△AOF≌△BOE,所以OE=OF.

試題解析:（1）證明:∵正方形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于O,

∴AC⊥BD,

∴∠OAF+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠EBO+∠BFG=90°,

∵∠BFG=∠AFO,

∴∠OAF=∠EBO,

∵∠AOF=∠BOE,AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

∴OE=OF,

（2）解:當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí),OE=OF仍成立,

證明:∵正方形ABCD中對(duì)角線AC,BD相交于O,

∴AC⊥BD,

∴∠OAF+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠BEO+∠EAG=90°,

∴∠AFO=∠BEO,

∵∠AOF=∠BOE,AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

∴OE=OF.