Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，為半圓上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使，過(guò)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，已知，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

________°．

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

若為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形面積記作，則取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)？

Answer 1

【答案】(1)90;(2);(3) 以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積S等于16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)．

【解析】

（1）利用圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角等于90°，即可得出答案；
（2）利用（1）中的結(jié)論易得OB是AC的垂直平分線，易得點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)O，點(diǎn)B的坐標(biāo)易得OB所在直線的解析式，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法得拋物線的解析式；
（3）利用（2）的結(jié)論易得點(diǎn)P的坐標(biāo)，分類討論①若點(diǎn)P在CD的左側(cè)，延長(zhǎng)OP交CD于Q，如右圖2，易得OP所在直線的函數(shù)關(guān)系式，表示出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
得QE的長(zhǎng)，表示出四邊形POAE的面積；②若點(diǎn)P在CD的右側(cè)，延長(zhǎng)AP交CD于Q，如右圖3，易得AP所在直線的解析式，從而求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得QE求得四邊形POAE的面積，當(dāng)P在CD右側(cè)時(shí)，四邊形POAE的面積最大值為16，此時(shí)點(diǎn)P的位置就一個(gè)，令，解得p，得出結(jié)論．

解：(1)；連接，如圖所示，
∵由知，又，
∴是的垂直平分線，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴所在直線的函數(shù)關(guān)系為，
又∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

即，
拋物線過(guò)，，，
∴設(shè)此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入得：
，
解得．
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，即；

設(shè)點(diǎn)，
①若點(diǎn)在的左側(cè)，延長(zhǎng)交于，如右圖，
所在直線函數(shù)關(guān)系式為：
∴當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∴，

，
，

②若點(diǎn)在的右側(cè)，延長(zhǎng)交于，如右圖，

，
∴設(shè)所在直線方程為：，把和坐標(biāo)代入得，
，
解得．
∴所在直線方程為：，
∴當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∴，
∴



，
∴當(dāng)在右側(cè)時(shí)，四邊形的面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)的位置就一個(gè)，
令，解得，，
∴當(dāng)在左側(cè)時(shí)，四邊形的面積等于的對(duì)應(yīng)的位置有兩個(gè)，
綜上所知，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形面積等于時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)有且只有個(gè)．