【題目】有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形,因此正方形是四邊相等,四角相等的四邊形.
初二數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動,過程如下:如圖,正方形ABCD中,AB=6,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點與D點重合.三角板的一邊交AB于點P,另一邊交BC的延長線于點Q.

(1)求證:DP=DQ
(2)如圖②,小聰在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明;

(3)如圖③,固定三角板直角頂點在D點不動,轉(zhuǎn)動三角板,使三角板的一邊交AB的延長線于點P,另一邊交BC的延長線于點Q,仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E,連接PE,若AB:AP=3:4,請幫小聰算出△DEP的面積.

【答案】
(1)

證明:∵∠ADC=∠PDQ=90°,

∴∠ADP=∠CDQ.

在△ADP與△CDQ中,

∴△ADP≌△CDQ(ASA),

∴DP=DQ


(2)

證明:猜測:PE=QE.

證明:由(1)可知,DP=DQ.

在△DEP與△DEQ中,

∴△DEP≌△DEQ(SAS),

∴PE=QE


(3)

解:∵AB:AP=3:4,AB=6,

∴AP=8,BP=2.

與(1)同理,可以證明△ADP≌△CDQ,

∴CQ=AP=8.

與(2)同理,可以證明△DEP≌△DEQ,

∴PE=QE.

設(shè)QE=PE=x,則BE=BC+CQ﹣QE=14﹣x.

在Rt△BPE中,由勾股定理得:BP2+BE2=PE2

即:22+(14﹣x)2=x2,

解得:x= ,即QE=

∴SDEQ= QECD= × ×6=

∵△DEP≌△DEQ,

∴SDEP=SDEQ=


【解析】(1)證明△ADP≌△CDQ,即可得到結(jié)論:DP=DQ;(2)證明△DEP≌△DEQ,即可得到結(jié)論:PE=QE;(3)與(1)(2)同理,可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ.在Rt△BPE中,利用勾股定理求出PE(或QE)的長度,從而可求得SDEQ= ,而△DEP≌△DEQ,所以SDEP=SDEQ
【考點精析】掌握全等三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】江蘇揚州的旅游宣傳口號是詩畫瘦西湖,人文古揚州.給你寧靜,還你活力.為了了解廣大市民對這一旅游宣傳口號的知曉率,應(yīng)采用的合適的調(diào)查方式為_____(普查抽樣調(diào)查”)

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甲型

乙型

價格(萬元/臺)

產(chǎn)量(噸/月)

240

180

(1)求a, b的值;

(2)經(jīng)預(yù)算:該公司購買的節(jié)能設(shè)備的資金不超過110萬元,請列式解答有幾種購買方案可供選擇;

(3)在(2)的條件下,若每月要求產(chǎn)量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請你為該公司設(shè)計一種最省錢的購買方案.

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(1)如圖1,求證:AE=DF;

(2)如圖2,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G,求證:△GEF是等腰直角三角形

(3)如圖3,若AB=,過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G.

①直接寫出線段AE長度的取值范圍;

判斷GEF的形狀,并說明理由.

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