Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上的一個動點(不與B， C點重合)，∠ADE＝45°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD＝x，AE＝y，求y關于x的函數關系式；

（3）當△ADE是等腰三角形時，請直接寫出AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y=x2-x+1=（x-）2+；（3）AE的長為2-或 ．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質及三角形內角與外角的關系，易證△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，對應邊成比例及等腰直角三角形的性質可求出y與x的函數關系式；
（3）當△ADE是等腰三角形時，因為三角形的腰和底不明確，所以應分AD=DE，AE=DE，AD=AE三種情況討論求出滿足題意的AE的長即可．

（1）證明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴=，
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=，CD=-x，EC=1-y，
∴=，
∴y=x2-x+1=（x-）2+；
（3）當AD=DE時，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即 x-x2=x，
∵x≠0，
∴等式左右兩邊同時除以x得：x=-1
∴AE=1-x=2-，
當AE=DE時，DE⊥AC，此時D是BC中點，E也是AC的中點，
所以，AE=；
當AD=AE時，∠DAE=90°，D與B重合，不合題意；
綜上，在AC上存在點E，使△ADE是等腰三角形，
AE的長為2-或 ．