Question

10．已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（其中b，c為常數(shù)，c＞0）的頂點恰為函數(shù)y=2x和y=$\frac{2}{x}$的其中一個交點．則當(dāng)a²+ab+c＞2a＞$\frac{2}{a}$時，a的取值范圍是-1＜a＜0或a＞3．

Answer 1

分析 只需先求出拋物線的頂點坐標(biāo)，再求出拋物線與直線y=2x的交點，然后結(jié)合函數(shù)圖象就可解決問題．

解答 解：解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$．
①當(dāng)拋物線y=x²+bx+c頂點為（1，2）時，
拋物線的解析式為y=（x-1）²+2=x²-2x+3．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x+3}\\{y=2x}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=6}\end{array}\right.$．
結(jié)合圖象可得：

當(dāng)a²+ab+c＞2a＞$\frac{2}{a}$時，a的取值范圍是-1＜a＜0或a＞3；
②當(dāng)拋物線y=x²+bx+c頂點為（-1，-2）時，
拋物線的解析式為y=（x+1）²-2=x²+2x-1．
∴c=-1＜0，與條件c＞0矛盾，故舍去．
故答案為-1＜a＜0或a＞3．

點評 本題主要考查了直線與反比例函數(shù)圖象的交點、拋物線的頂點坐標(biāo)公式、直線與拋物線的交點等知識，運用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．