Question

求下列不定方程的正整數(shù)解：
（1）x²-3xy+2y³=0；
（2）x²-y²+2y-61=0．

Answer 1

考點：非一次不定方程（組）

專題：

分析：（1）將不定方程看成解關(guān)于x的一元二次方程計算，利用根的存在性判別方法求解，結(jié)合x和y都是正整數(shù)，解出x和y的值．
（2）將不定方程看成解關(guān)于y的一元二次方程計算，利用根的存在性判別方法求解，結(jié)合x和y都是正整數(shù)，解出x和y的值．

解答：解：（1）解關(guān)于x的一元二次方程得：
x=

3y± 9y2-4×2y3

2

=

3±y (9-8y)

2

∵x²-3xy+2y³=0方程有正整數(shù)解
∴9-8y是完全平方數(shù)且9-8y≥0
∴0＜y≤9/8
∴y=1，代入x²-3xy+2y³=0得：
x²-3x+2=0
解得：x₁=1，x₂=2
故該不定方程的正整數(shù)解為

x1=1 y1=1

 ，

x2=2 y2=1

（2）∵x²-y²+2y-61=0
∴y²-2y-x²+61=0
解關(guān)于y的一元二次方程得：
y=

2± 4-4(61-x2)

2

=1±

x2-60

∵x，y為正整數(shù)，
∴x²-60為完全平方數(shù)
設(shè)x²-60=a²（a≥0）
∴（x+a）（x-a）=60
∵x+a＞0且x+a與x-a奇偶性相同

x+a=30，10 x-a=2，6

∴

x=16 a=14

或

x=8 a=2

∴

x=16 y=15

或

x=8 y=3

．

點評：本題考查一元二次方程整數(shù)根及有理根．解決本題的關(guān)鍵是首先根據(jù)方程的特點，將兩個方程進行靈活變形，再求解方程．