Question

已知反比例函數y=

k

2x

和一次函數y=2x-1，且一次函數的圖象經過（a，b）和（a+1，b+k）兩點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若直線y=2x-1上有一點A（1，c），則點A在y=

k

2x

上嗎？說明理由．
（3）利用（2）的結果，說明在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，直接寫出P點坐標．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）先把（a，b）和（a+1，b+k）代入一次函數y=2x-1求出k的值，進而可得出反比例函數的解析式；
（2）把點A（1，c）代入直線y=2x-1即可得出點A的坐標，再代入反比例函數y=

k

2x

進行檢驗即可；
（3）先根據勾股定理計算出OA的長，再過A點作AP₁⊥x軸，則△OAP₁為等腰三角形；作點O關于AP₁的對稱點P₂，則△OAP₂為等腰三角形；以O點為圓心，OA為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，則△OAP₃、△OAP₄為等腰三角形；然后利用線段長分別確定各點坐標．

解答：解：（1）∵一次函數y=2x-1的圖象經過（a，b）和（a+1，b+k）兩點，
∴

2a-1=b 2(a+1)-1=b+k

，解得k=2，
∴反比例函數y=

k

2x

的解析式為y=

1

x

；

（2）在．
∵點A（1，c）在直線y=2x-1上，
∴c=2-1=1，
∴A（1，1），
∵當x=1時，y=

1

1

=1，
∴點A在反比例函數y=

1

x

的圖象上；

（3）A點作AP₁⊥x軸，則△OAP₁為等腰三角形；作點O關于AP₁的對稱點P₂，則△OAP₂為等腰三角形；以O點為圓心，OA為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，則△OAP₃、△OAP₄為等腰三角形；
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，OP₁=1，
∴P₁（1，0），P₂（2，0）；P₃（

2

，0）、P₄（-

2

，0）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、等腰三角形的判定與性質；運用分類討論的思想解決問題．