【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=30cm,BC=40cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以5cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C勻速移動.過點(diǎn)P作PQ⊥AB,垂足為點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,點(diǎn)M在AB邊上,連接CN.設(shè)點(diǎn)P移動的時間為t(s).
(1)PQ=______;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)點(diǎn)N分別滿足下列條件時,求出相應(yīng)的t的值;①點(diǎn)C,N,M在同一條直線上;②點(diǎn)N落在BC邊上;
(3)當(dāng)△PCN為等腰三角形時,求t的值.
【答案】(1)4t;(2)①,②;(3)秒或秒或秒.
【解析】
(1)先求出AB=50,sinA==,cosA==,進(jìn)而求出AQ=3t,PQ=4t,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出PN=QM=PQ=4t,
①求出CD=24,AD=18,進(jìn)而判斷出AQ+QM=AD=18,建立方程即可得出結(jié)論;
②判斷出∠APQ=∠PNC,進(jìn)而得出△AQP∽△PCN,建立方程即可得出結(jié)論;
(3)分三種情況,利用等腰三角形的性質(zhì)建立方程求解即可得出結(jié)論.
解:(1)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得,AB=50,
∴sinA==,cosA==
∵PQ⊥AB,
∴∠AQP=90°,
由運(yùn)動知,AP=5t,
在Rt△AQP中,AQ=APcosA=×5=3t,PQ=APsinA=4t,
故答案為:4t;
(2)由(1)知,AQ=3t,PQ=4t,
∵四邊形PQMN是正方形,
∴PN=QM=PQ=4t,
①如圖1,
由(1)知,AB=50,
過點(diǎn)C作CD⊥AB于D,
∴ABCD=ACBC,
∴CD=24,
在Rt△ADQ中,AD==18,
∵點(diǎn)C,N,M在同一條直線上,
∴點(diǎn)M落在點(diǎn)D,
∴AQ+QM=AD=18,
由(1)知,QM=PQ=4t,AQ=3t,
∴4t+3t=18,
∴t=;
②點(diǎn)N落在BC上時,∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP,
∴∠CPN+∠CNP=90°,
∵∠QPN=90°
∴∠CPN+∠APQ=90°,
∴∠APQ=∠PNC,
∵∠AQP=∠PCN,
∴△AQP∽△PCN,
∴,
∴,
∴t=;
(3)當(dāng)PC=PN時,30-5t=4t,
∴t=,
當(dāng)PC=NC時,如圖2,過點(diǎn)C作CF⊥PN于F,延長CF交AB于D,
∴PF=PN=2t,
∴QD=2t,
根據(jù)勾股定理得,AQ==3t,
∴AD=AQ+QD=5t=18,
∴t=,
當(dāng)PN=NC時,如圖3,過點(diǎn)N作NG⊥AC于G,
∴PG=PC=,
易知,△PNG∽△APQ,
∴,
∴,
∴t=,
即:當(dāng)△PCN是等腰三角形時,秒或秒或秒.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中兩條直線為l1:y=–3x+3,l2:y=–3x+9,直線l1交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,直線l2交x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作x軸的平行線交l2于點(diǎn)C,點(diǎn)A、E關(guān)于y軸對稱,拋物線y=ax2+bx+c過E、B、C三點(diǎn),下列判斷中:
①a–b+c=0;
②2a+b+c=5;
③拋物線關(guān)于直線x=1對稱;
④拋物線過點(diǎn)(b,c);
⑤S四邊形ABCD=5;
其中正確的個數(shù)有( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,E為BC邊的中點(diǎn),連接AE,以AD為直徑的⊙O交AE于點(diǎn)F,連接CF.求證:CF與⊙O相切.
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,cosA=,D是AB邊的中點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF.
(1)如圖1,當(dāng)DE⊥AC時,求EF的長;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動時,∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化,如果變化請說出變化情況;如果保持不變,請求出∠DFE的正切值;
(3)如圖3,聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q,當(dāng)△CQF是等腰三角形時,請直接寫出BF的長.
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【題目】體育課上,老師為了解女學(xué)生定點(diǎn)投籃的情況,隨機(jī)抽取8名女生進(jìn)行每人4次定點(diǎn)投籃的測試,進(jìn)球數(shù)的統(tǒng)計如圖所示.
(1)求女生進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù);
(2)投球4次,進(jìn)球3個以上(含3個)為優(yōu)秀,全校有女生1200人,估計為“優(yōu)秀”等級的女生約為多少人?
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【題目】如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a,b滿足 +(c-7)2=0.
(1) a= ,b= ,c= .
(2) 若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù) 表示的點(diǎn)重合.
(3) 點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動,若點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動,同時,點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運(yùn)動,假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)
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【題目】某校實(shí)行學(xué)案式教學(xué),需印制若干份教學(xué)學(xué)案.印刷廠有,甲、乙兩種收費(fèi)方式,除按印數(shù)收取印刷費(fèi)外,甲種方式還需收取制版費(fèi)而乙種不需要,兩種印刷方式的費(fèi)用y(元)與印刷份數(shù)x(份)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)填空:甲種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是__________,乙種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是__________.
(2)該校某年級每次需印制100~450(含100和450)份學(xué)案,選擇哪種印刷方式較合算.
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