Question

某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8.

問題思考：

如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.

（1）在點P運動時，這兩個正方形面積之和是定值嗎？如果時求出；若不是，求出這兩個正方形面積之和的最小值.

（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點A，當(dāng)點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.

問題拓展：

（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長。

 (4)如圖（3），在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BM=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.

    

Answer 1

（1）當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32；

（2）存在兩個面積始終相等的三角形，圖形見解析；

（3）PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為6π；

（4）點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．

【解析】

試題解析：（1）當(dāng)點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．

設(shè)AP=x，則PB=8-x，

根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x²+（8-x）²=2x²-16x+64=2（x-4）²+32，

所以當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32；

（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．

依題意畫出圖形，如圖所示．

設(shè)AP=a，則PB=BF=8-a．

∵PE∥BF，

∴，

即，

∴PK=，

∴DK=PD-PK= a-=，

∴S_△APK=PK•PA=••a=，S_△DFK=DK•EF=••（8-a）=，

∴S_△APK=S_△DFK；

所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為：×2π×4=6π；

（4）點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．

如圖，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．

如圖，作點M關(guān)于直線XY的對稱點M′，連接BM′，與XY交于點O．

由軸對稱性質(zhì)可知，此時OM+OB=BM′最�。�

在Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′=．

∴OM+OB的最小值為．

考點：四邊形綜合題．