Question

圖（1）為一個無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其展開成平面圖，如圖（2）．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．
（1）求該展開圖中可畫出最長線段的長度，并求出這樣的線段可畫幾條．
（2）試比較立體圖中∠ABC與平面展開圖中∠A′B′C′的大小關系．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題

專題：

分析：（1）由長方形中最長的線段為對角線，從而可根據(jù)已知運用勾股定理求得最長線段的長，又因為展開圖形中有兩個長方形，每個長方形有兩條對角線，知這樣的線段可畫4條；
（2）要確定角的大小關系，一般把兩個角分別放在兩個三角形中，然后根據(jù)三角形的特點或者全等或者相似形來解．

解答：解：（1）在平面展開圖中可畫出最長的線段長為

10

，
如圖（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
A′C′=

C′D′2+A′D′2

=

1+9

=

10

．
答：這樣的線段可畫4條（另三條用虛線標出）；


（2）∵立體圖中∠ABC為平面等腰直角三角形的直角，∴∠ABC=90°．
在平面展開圖中，連接線段B′C′，由勾股定理可得：A′B′=

5

，B′C′=

5

，
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A′B′C′為直角三角形，
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′為等腰直角三角形，
∴∠A′B′C′=90°，
∴∠ABC與∠A′B′C′相等．

點評：本題綜合考查了平面展開-最短路徑問題，等腰直角三角形，勾股定理的知識，是一道綜合性比較強的題，難度中等．