【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),直接寫出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(-1,0) ,B(2,3)
(2)△ABP最大面積s=; P(,-)
(3)存在;k=
【解析】
試題(1) 當(dāng)k=1時(shí),拋物線解析式為y=x2﹣1,直線解析式為y=x+1,然后解方程組即可;
(2) 設(shè)P(x,x2﹣1).過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸,交直線AB于點(diǎn)F,則F(x,x+1),所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB,
,用含x的代數(shù)式表示為S△ABP=﹣x2+x+2,配方或用公式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.(3) 設(shè)直線AB:y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F,用k分別表示點(diǎn)E的坐標(biāo),點(diǎn)F的坐標(biāo),以及點(diǎn)C的坐標(biāo),然后在Rt△EOF中,由勾股定理表示出EF的長(zhǎng),假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°,則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn),連接NQ,根據(jù)條件證明△EQN∽△EOF,然后根據(jù)性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例,可得關(guān)于k的方程,解方程即可.
試題解析:解:(1)當(dāng)k=1時(shí),拋物線解析式為y=x2﹣1,直線解析式為y=x+1.
聯(lián)立兩個(gè)解析式,得:x2﹣1=x+1,
解得:x=﹣1或x=2,
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=x+1=0;當(dāng)x=2時(shí),y=x+1=3,
∴A(﹣1,0),B(2,3). 4分
(2)設(shè)P(x,x2﹣1).
如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸,交直線AB于點(diǎn)F,則F(x,x+1).
∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF﹣xA)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xA)=PF
∴S△ABP=(﹣x2+x+2)=﹣(x﹣)2+
當(dāng)x=時(shí),yP=x2﹣1=﹣.
∴△ABP面積最大值為,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(,﹣). 8分
(3)設(shè)直線AB:y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F,
則E(﹣,0),F(0,1),OE=,OF=1.
在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF==.
令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.
∴C(﹣k,0),OC=k.
假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°,如答圖3所示,
則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q,根據(jù)圓周角定理,此時(shí)∠OQC=90°.
設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn),連接NQ,則NQ⊥EF,NQ=CN=ON=.
∴EN=OE﹣ON=﹣.
∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,
∴△EQN∽△EOF,
∴,即:,
解得:k=±,
∵k>0,
∴k=.
∴存在唯一一點(diǎn)Q,使得∠OQC=90°,此時(shí)k=. 12分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在大課間活動(dòng)中,同學(xué)們積極參加體育鍛煉,小龍?jiān)谌kS機(jī)抽取了一部分同學(xué)就“我最喜愛(ài)的體育項(xiàng)目”進(jìn)行了一次調(diào)查(每位同學(xué)必選且只選一項(xiàng)).下面是他通過(guò)收集的數(shù)據(jù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息,解答以下問(wèn)題:
(1)小龍一共抽取了 名學(xué)生.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)求“其他”部分對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).
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【題目】如圖1,已知函數(shù)y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.
(1)求直線BC的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作y軸平行線,交直線AB于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)Q.
①若△PQB的面積為,求點(diǎn)M的坐標(biāo):
②在①的條件下,在直線PQ上找一點(diǎn)R,使得△MOR≌△MOQ,直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo);
(3)連接BM,如圖2.若∠BMP=∠BAC,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】小剛在實(shí)踐課上要做一個(gè)如圖1所示的折扇,折扇扇面的寬度AB是骨柄長(zhǎng)OA的,折扇張開的角度為120°.小剛現(xiàn)要在如圖2所示的矩形布料上剪下扇面,且扇面不能拼接,已知矩形布料長(zhǎng)為24cm,寬為21cm.小剛經(jīng)過(guò)畫圖、計(jì)算,在矩形布料上裁剪下了最大的扇面,若不計(jì)裁剪和粘貼時(shí)的損耗,此時(shí)扇面的寬度AB為( )
A. 21cm B.20 cm C. 19cm D. 18cm
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【題目】如圖,長(zhǎng)方形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(-2,2),點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)H在OA上,且AH=,過(guò)點(diǎn)H且平行于y軸的HG與EB交于點(diǎn)G,現(xiàn)將長(zhǎng)方形折疊,使頂點(diǎn)C落在HG上的D點(diǎn)處,折痕為EF,點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn).
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求折痕EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)若點(diǎn)P在直線AB上,當(dāng)△PFD為等腰三角形時(shí),試問(wèn)滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),并寫出解答過(guò)程.
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【題目】某網(wǎng)店銷售某款童裝,每件售價(jià)60元,每星期可賣300件,為了促銷,該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售.市場(chǎng)調(diào)查反映:每降價(jià)1元,每星期可多賣30件.已知該款童裝每件成本價(jià)40元,設(shè)該款童裝每件售價(jià)x元,每星期的銷售量為y件.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
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【題目】某學(xué)校后勤人員到一家文具店給九年級(jí)的同學(xué)購(gòu)買考試用文具包,文具店規(guī)定一次購(gòu)買400個(gè)以上,可享受8折優(yōu)惠.若給九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買一個(gè),不能享受8折優(yōu)惠,需付款1936元;若多買88個(gè),就可享受8折優(yōu)惠,同樣只需付款1936元.請(qǐng)問(wèn)該學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人?
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【題目】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(,0),B(,0),且與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)求∠ACB的度數(shù);
(3)設(shè)點(diǎn)D是所求拋物線第一象限上一點(diǎn),且在對(duì)稱軸的右側(cè),點(diǎn)E在線段AC上,且DE⊥AC,當(dāng)△DCE與△AOC相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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