Question

【題目】如圖①，在中，，．點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．設(shè)（），，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．

（1）求出圖②中線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將沿翻折，得．

①點(diǎn)是否可以落在的某條角平分線上?如果可以，求出相應(yīng)的值；如果不可以，說明理由；

②直接寫出與重疊部分面積的最大值及相應(yīng)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②與重疊部分面積的最大值為8，此時(shí)x＝4．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將（3，4）和（6，0）代入y＝kx＋b即可求得直線函數(shù)關(guān)系式；

（2）①根據(jù)題意可證△DCE∽△ACB，進(jìn)而可得點(diǎn)M在CT上，且點(diǎn)M不在∠ACB的平分線上，接下來分類討論，當(dāng)點(diǎn)M在∠CAB的平分線上或在∠CBA的平分線上時(shí)，畫出相應(yīng)的示意圖，利用角平分線定理計(jì)算即可；

②首先考慮當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)T重合時(shí)的x的值，進(jìn)而對(duì)x分類討論，畫出相應(yīng)的示意圖，利用相似三角形的性質(zhì)把重疊部分的面積表示出來，再利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求得最大值．

解：（1）設(shè)直線PQ為y＝kx＋b，

將（3，4）和（6，0）代入，得

解得：

∴直線PQ為；

（2）①過點(diǎn)C作CT⊥AB，垂足為點(diǎn)T，

∵，

∴在Rt△ABC中，，

∵

∴

∴，

∴在Rt△ACT中，，

∴，

由（1）可知，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵∠DCE＝∠ACB，

∴△DCE∽△ACB，

∴∠DEC＝∠ABC，

∴DE∥AB，

∵折疊，

∴點(diǎn)M在CT上，且點(diǎn)M不在∠ACB的平分線上，

∵，

∴在Rt△CDE中，，

∵

∴

∴

∴，，

如圖，當(dāng)點(diǎn)M在∠CAB的平分線上時(shí)，即AM平分∠CAT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

如圖，當(dāng)點(diǎn)M在∠CBA的平分線上時(shí)，即BM平分∠CBT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

綜上所述，x的值為或；

②設(shè)與重疊部分面積為S，

如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)T重合時(shí)，

∵折疊，

∴CD＝DT，

∴∠DCT＝∠DTC，

∵∠ATC＝90°，

∴∠DCT＝∠A90°，∠DTC＝∠DTA＝90°，

∴∠A＝∠DTA，

∴DA＝DT，

∴DA＝DC＝AC＝3，

∴當(dāng)0＜x≤3時(shí)，如圖，

則

∵0＜x≤3，

∴當(dāng)x＝3時(shí)，S取得最大值，最大值為6，

當(dāng)3＜x≤6時(shí)，如圖，

∵，

∴，

∵DE∥AB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

，

∴當(dāng)x＝4時(shí)，S取得最大值，最大值為8，

綜上所述，與重疊部分面積的最大值為8，此時(shí)x＝4．