Question

設(shè)拋物線y=x²+（2a+1）x+2a+

5

4

的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a¹⁸+323a^-6的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：利用函數(shù)與一元二次方程的結(jié)合點(diǎn)：拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于△=0，由此可以求得a²-a-1=0；然后利用韋達(dá)定理和完全平方和公式a²+b²=（a+b）²-2ab，接下來用了立方和公式，提公因式，用a12+

1

a12

來表示所求的代數(shù)式．這種各種公式共同應(yīng)用的題比較常見．

解答：解：∵拋物線y=x²+（2a+1）x+2a+

5

4

的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴∴△=（2a+1）²-4×1×（2a+

5

4

）=0，即a²-a-1=0，
∵a≠0，
∴a-

1

a

=1，
a²+

1

a2

=（a-

1

a

）²+2
=3，
a⁴+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2
=7，
a⁸+

1

a8

=（a⁴+

1

a4

）²-2
=47，
a¹²+

1

a12

=（a⁴+

1

a4

）（a⁸+

1

a8

-1）
=7×（47-1）
=322，
a¹⁸+323a^-6
=（a¹⁸+

1

a6

）+

322

a6

=a⁶（a¹²+

1

a12

）+

322

a6

=322a⁶+

322

a6

=322（a⁶+

1

a6

），
a⁶+

1

a6

=（a²+

1

a2

）（a⁴+

1

a4

-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（a⁶+

1

a6

）=322×18=5796．
即a¹⁸+323a^-6的值為5796．
故答案是：5796．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），在計(jì)算中要靈活運(yùn)用完全平方公式和立方和公式，計(jì)算較復(fù)雜，要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．