Question

11．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，沿AE將△ADE折疊至△AFE處，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，若DE=1，則下列結(jié)論①G為BC中點(diǎn)，②FG=CF，③S_△CFG=0.9，正確的有①③．

Answer 1

分析 先求出DE、CE的長(zhǎng)，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=FG，再設(shè)BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=$\frac{3}{2}$，從而可以判斷①正確；根據(jù)∠AGB的正切值判斷∠AGB≠60°，從而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等邊三角形，F(xiàn)G≠FC，判斷②錯(cuò)誤；先求出△CGE的面積，再求出EF：FG，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長(zhǎng)的比求解即可得到△FGC的面積，判斷③正確．

解答 解：∵正方形ABCD中，AB=3，DE=1，
∴CE=3-1=2，
∵△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
設(shè)BG=FG=x，則EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，
在Rt△CEG中，EG²=CG²+CE²，
即（1+x）²=（3-x）²+2²，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
∴CG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴BG=CG=$\frac{3}{2}$，
即點(diǎn)G是BC中點(diǎn)，故①正確；
∵tan∠AGB=$\frac{AB}{BG}$=$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等邊三角形，
∴FG≠FC，故②錯(cuò)誤；
△CGE的面積=$\frac{1}{2}$CG•CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∵EF：FG=1：$\frac{3}{2}$=2：3，
∴S_△FGC=$\frac{3}{2+3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$=0.9，故③正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)各邊的熟量關(guān)系利用勾股定理列式求出BG=FG的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．